3. Объекты и их признаки

Предметы, их свойства и признаки являются первыми понятиями, с которыми сталкивается первоклассник в школе РО на уроках математики. Заглянув в словарь С.И. Ожегова, читаем:

Предмет - а) всякое материальное явление, вещь;

б) то, на что направлена мысль, что составляет ее содержание или на что направлено какое-нибудь действие.

Объект - а) то, что существует вне нас и независимо от нашего сознания;

б) явление, предмет, на который направлена какая-нибудь деятельность.

Вещь - всякое материальное явление, отдельный предмет, изделие.

Признак - показатель, примета, знак, по которому можно узнать, определить чего-нибудь.

Свойство - качество, признак, составляющий отличительную особенность чего-либо.

Качество - наличие существенных признаков, свойств, особенностей, отличающих один предмет или явление от других.

Уже этого представления о предметах и их признаках достаточно, чтобы выделить такие понятия как объем признака или абстрактный признак. Объем признака - совокупность всех предметов, обладающих данным признаком. Абстрактный признак - всеобщая категория признака, отличается от конкретного признака как всеобщее от единичного в философии.

“Математический” же взгляд на эти определения вынуждает признать и предметы, и признаки этих предметов понятиями, “математически” “неопределяемыми”, требующими совместного построения понимания их смысла (“проживания смысла”). Более того, поскольку курс математики в первом классе начинается с понятия предмета и его признаков, мы должны попытаться взглянуть на них теоретически, то есть сделать культурно-исторический анализ и показать генезис самого понятия. Для этого необходимо:

1. Понять при решении, каких общезначимых для человечества задач эти понятия появились как средства их решения.

2. Вскрыть логику их становления.

3. Показать “предельную знаковую форму”, то есть место и форму этих понятий в современной математике.

Способность выделять в предметах одинаковое (и, следовательно, находить различия) есть одно из первейших психических новообразований человека. Вспомним: “Признак - показатель, примета, знак, по которым можно узнать, определить чего-нибудь”. Значит, способность к выделению признака есть одна из первых психических способностей человека к знаковому

опосредствованию деятельности - ключевому механизму психического развития человека.

Естественно, подтвердить сказанное историческими фактами и текстами сложно (историю математики принято писать, начиная с числа). Но, если опираться на гипотезу о соответствии онтогенеза и филогенеза, если способность к выделению признаков в предметах рассматривать как способность к различным типам обобщений, то исследования самого Л.С. Выготского по становлению детской способности к обобщению от сенкрета до псевдопонятия [3] подтверждают сказанное. Это раскрывает содержание пунктов 1 и 2 (см. выше). Пункт 3 требует отдельного рассмотрения.

Воспользуемся рассмотренным нами представлением о множествах как средством построения модели предмета и признака. Будем рассматривать признак предметов как множество, а сами предметы, обладающие этим признаком, как элементы этого множества. При таком моделировании объем признака и сам признак как бы “сливаются”, но зато вся неопределенность и “неопределяемость” переносится на понятие множества и его элементов. Операции на множествах хорошо интерпретируются признаками. Некоторые затруднения получаются при рассмотрении двойного дополнения или при переходе к множеству всех подмножеств S(F). Надеемся, что читателю самому будет интересно поломать голову над этими затруднениями.

Известно, что признаки и действия с предметами являются базой для построения величины, которая в свою очередь порождает число. Поэтому самое главное на наш взгляд в таком моделировании заключено в том, что теория множеств становится основанием содержания математики начальной школы РО.

Контрольные вопросы:

1. Как вы понимаете, что такое предмет, признак, свойство, качество в математике?

2. Как вы понимаете, что такое объем признака и абстрактный признак?

3. Что такое множество всех подмножеств?