Свойства комплексных чисел:

1) Комплексное число i = (0,1) называется мнимой единицей. А все точки вертикальной оси называются мнимыми числами, все точки, первая координата которых равна нулю.

2) Попробуем понять, чему равно (i)²:

(i, i) = (0*0 – 1*1, 0*1 + 0*1) = (-1,0),

что это за число? Таким образом, в поле комплексных чисел мы можем извлечь из (-1) квадратный корень. Число (-i)² дает тот же самый результат, следовательно, корня два i и i². Более того, мы можем доказать, что из любого комплексного числа можно извлечь квадратный корень.

3) Сколько корней из единицы существует в поле комплексных чисел (сколько комплексных чисел, третья степь которых равна 1)? Легко показать, что 3. Покажем это: докажем, что если и - действительные числа, то любое комплексное число можно записать в виде , где i мнимая единица.

Доказательство:

Пусть у нас есть точки с соответствующими координатами   х 0,   у, 0) и i = = (0, 1). Теперь выполним сложение: = х 0 + (у*0 – 0*1, у*1 + 0*0) = (х, 0) + (0, у) = = (х, у), а это и есть число.

Так вводится алгебраическая форма комплексного числа (в качестве формулы).

Понятно как складываются такие числа ( ). Это позволяет выделять действительные и мнимые числа.

Перемножая эти числа получаем аналогичный вышеописанным результат.

Упражнение: посчитайте чему равны i³, i⁴?

Контрольные вопросы:

1. Как можно точку сделать числом? Пример.

2. Задайте поле комплексных чисел. Пример комплексного числа.

3. Как соотносятся поле действительных чисел и поле комплексных чисел?

4. Перечислите свойства комплексных чисел. Приведите примеры когда эти свойства выполняются или не выполняются.

5.3. Алгебраическая форма комплексого числа

Рассмотрим все формальные выражения вида a + bi, где a и b – вещественные числа, а значок i - обладает свойством i² = -1.

K = {a + bi | a, b  R}.

Оказывается множество K легко превращается в комплексное число изоморфизм задается отображением

.

Легко проверить (учитывая i² = -1), что

,

.

, .

Такую форму комплексных чисел принято называть алгебраической.

Контрольные вопросы:

1. Введите алгебраическую форму комплексного числа. Примеры.

5.4. Тригонометрическая форма комплексного числа

Рассмотрим графическую модель комплексного числа (точки плоскости). Мы всегда можем найти расстояние от числа (координаты точки) до начала системы координат, а это есть модуль комплексного числа.

, где .

Представим себе, что у комплексного числа  задан модуль и угол  между отрезком соединяющим эту точку с началом координат и вещественной осью. Тогда координаты точки  находятся следующим образом:

r*cos - первая координата,

r*sin - вторая координата,

что в алгебраической форме даст:

 = r*cos + i r*sin = r(cos + i sin),

угол  называется аргументом комплексного числа.

Чем интересна нам эта запись? Тем, что позволяет очень легко перемножить два комплексных числа:

 = r² (cos + i sin)(cos + i sin) = r² (cos cos + i sin cos + cos i sin + i sin i sin) = = r² (cos(  ) + i sin(  )).

Упражнение: найдите значение следующего выражения

Упражнение: докажите, что из любого комплексного числа можно извлечь квадратный корень.

Оказывается, что комплексное число также можно ввести как отношение направленных величин, т.е. через “измерение” одной величины другою величиной.

Пусть при ”измерении” вектора а вектором b (меркой) мы получаем два параметра: отношение длин этих векторов и угол между векторами а иb (от а кb против часовой стрелки). Обозначим этот факт следующим образом

.

Операцию умножения на этих “отношениях” можно ввести так

,

и сложение аналогично сумме вещественных чисел

.

Можно проверить, что так заданные операция умножения и сложения превращают отношения направленных величин в комплексные числа.

Контрольные вопросы:

1. Нарисуйте графическую модель комплексного числа.

2. Что такое модуль комплексного числа и как он находится? Приведите примеры.

3. Запишите комплексное число в тригонометрическом виде? Что такое аргумент комплексного числа? примеры.

4. Какой еще есть способ для того, чтобы ввести комплексные числа? задайте операции сложения и умножения для этого способа. Примеры.

Контрольные задачи: