2.2.3. Полные системы связок

В этом разделе мы рассмотрим множество логических связок с точки зрения взаимозаменяемости его элементов. Наша задача, выбрать такое минимальное подмножество, с помощью которого можно будет определить все остальные логические связки.

Определение 3. Две формулы F и Ф ( F = Ф ) называются логически эквивалентными ( равносильными), если ( F  Ф ) - тавтология.

Из определения следует, что F равносильна Ф тогда и только тогда, когда в таблице истинности соответствующие столбцы совпадают.

Покажем, что формула (А  В) равносильна формуле ((А)  В).

А	В	А	(А  В)	((А)  В)
0	0	1	1	1
0	1	1	1	1
1	0	0	0	0
1	1	0	1	1

Равносильность (А  В) = ((А)  В) показывает, что связку  можно исключить, заменив ее связками  и . Связку & можно исключить в силу равносильности (А & В) = ((А)  (В)). Так как (А  В) = ((А  В) & (В   А)), а связки  и & можно выразить через отрицание и дизъюнкцию, то связка  так же может быть исключена.

Контрольные вопросы:

1. Что такое элементы высказывания? Что мы называем множеством элементарных высказываний? Примеры.

2. Перечислите логические связки.

3. Определите множество форм. Что такое высказывание.

4. Приведите пример таблицы истинности.

5. Дайте определение тавтологии. Что такое противоречие? Приведите примеры.

6. Что мы подразумеваем под логически эквивалентными формулами?

2.3 АКСИОМАТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ВЕЛИЧИН

Изучение величин мы начинаем с представлений о них как об аксиоматической теории, суть которой изложена, например, в математической энциклопедии [14, с. ]. Мы дадим сходное, но несколько иное определение.

Системой величин называется алгебраическая система А = <A, =,  , состоящая из множества А с одной бинарной операцией “+” (сложение) и бинарным отношением  (отношение порядка), удовлетворяющих следующим аксиомам (свойствам):

1.  а, в (а + в = в + а);

2. (а + в) + с = а + (в + с);

3. а  в  а + с  в + с;

4. а  а;

5. (а  в) /\ (в  а)  а = в;

6. (а  в) /\ (в  с)  а = с;

7.  а, в: (а  в) \/ (в  а);

8.  а, в  n: (a  nв), где nв = (в + … + в)- n-раз;

9.  а, в: а < а + в;

10.  а, в: (а < в   с: (а + с = в)).

Эта система называется системой положительных величин, ее особенность в том, что нет требования к наличию нулевой и отрицательных величин, наоборот аксиома №9 утверждает отсутствие нулевой величины. Системы величин нулем и отрицательными величинами существуют, с ними читатель может познакомиться по той же заметке Колмогорова. Иногда к данной системе аксиом добавляют свойства непрерывности. Мы здесь этого не делаем, для сути нашего изложения это не имеет принципиального значения.

Теперь посмотрим на систему аксиом более пристально.

Аксиомы 1, 2, 9 задают свойства сложения (коммуникативность и ассоциативность) и отсутствие нейтрального (нулевого) элемента. Аксиомы 4, 5, 6, 7 – задают систему как линейно упорядоченное множество (цепь). Аксиомы 3, 9, 10 связывают умножение и порядок. Аксиома 10 дает представление о частичном (не для всех) вычитании, где с рассматривается как разность. Особое место занимает аксиома 8, она получила название аксиомы “Архимеда”, она не только “снимает” вопрос об ограниченности системы величин, вводит туда потенциальную бесконечность, она еще задает (“вскрывает”) суть связи сложения и порядка.

Такой абстрактный подход к пониманию величины, когда полностью исключается природа самих объектов (величин – элементов множества А), а рассматриваются только свойства сложения и порядка, ставит перед нами два важных вопроса.

Первый из них связан с параметром n в аксиоме Архимеда. Нам часто (нас часто) задают вопрос (упрекают): вы же здесь используете натуральное число, заявляя, что “чисел еще нет”, что они должны быть “после” величин. С одной стороны можно указывать (говорить), что запись nа есть сокращенная запись (а + … + а)n-раз и не использует натурального числа, но тогда, что такое “разы”? С другой стороны, натурального числа здесь нет, оно только “проявляет” себя как некоторое общее отношение к количествам объектов различной природы как некая общая мера, а это и есть проявление природы числа, которую якобы мы собираемся обсуждать позже, а на самом деле уже обсуждаем. Видимо, полный ответ лежит в понимании диалектического характера мышления современного человека, но это лежит за рамками обсуждения данной работы.

Второй вопрос связан с представление об измерении величин в такой абстрактной системе. Поскольку мы отвлекаемся от природы объектов, то положить в понятие измерение какие-либо действия не можем. Мы должны, следовательно, понять измерение теоретически, как свойство операций и отношений на системе величин. Осветить данный аспект мы попытаемся с большей ясностью, чем предыдущий, без диалектического “лукавства” (двойственности).

Здесь в полной мере двойственность проявляет свое значение аксиома Архимеда (хвала ее создателю).

Теоретически аналогом понятия измерения является следующая теорема (основная): Для  а, в  n, r (а = nв \/ (а = nв + r /\ r < в) \/ а < в).

Доказательство:

Рассмотрим три случая:

1. а < в и все доказано;

2. а = в  n = 1 и все доказано;

3. а < в. По аксиоме Архимеда: существует m, а  mв. Если а = mв, то n = m и все доказано.

Пусть а < mв (m  2), т. к. а > в, то можно считать, что а  (m - 1) в (т. е. M – минимальный параметр (число слагаемых), при котором а < mв). Если а = = (m - 1)в, то n = m - 1, и все доказано.

Пусть а > (m - 1)в, а < mв. По аксиоме 10 существует r такое, что (m - 1)в + r = a, если r > в, то  s: r = в + s  а = s + mв  а = а > mв и т.д., поэтому r < в  теорема доказана.

Аналогичные теоремы имеются во многих разделах курсах математики. Они позволяют строить (вводить) алгоритм Евклида как некоторую форму отношений изучаемых объектов.

В нашем случае алгоритм Евклида выглядит следующим образом:

Пусть а, в – две величины из одной системы А = <А, +,  >. По основной тереме можно записать: а = n₁в + r₁, 0  r  в.

Для удобства и экономии места случай а < в, сюда включен условно при n₁ = 0 и а = r₁, а случай когда остатка r₁ нет записан нами как r₁ = 0. Повторно, так мы обозначим эти два случая.

Повторяя теорему, мы можем получить процедуру:

а = n₁ а + r₁, 0  r₁ < в

в = n₁ r₁ + r ₂ , 0  r₂ < r₁

r₁ = n₁ r₂ + r₃ , 0  r₃ < r₂

…………………………….

r_i-1 = n_i r_i-1 + r_i, 0  r_i < r_i-1, 1  i < ∞.

Этот процесс называется алгоритмом Евклида и используется как алгоритм нахождения некоторых объектов (в частности в целых числах для нахождения наибольшего общего делителя) в различных разделах математики.

В данном случае мы можем иметь две ситуации: процедура может быть конечной, если при некоторой i r_i = 0 и r_j  0, при j > i, т.е. в какой-то момент (даже при первом шаге) r_i-1 укладывается “целое число” раз в величину r_i-2, r_i исчезает и теорему применить нельзя, нет второй величины. И второй случай: процедура не обрывается, она бесконечна. Такой случай может быть, во всяком случае доказать конечность процесса исходя только из аксиом нельзя. Фактически существование бесконечных процедур такого рода было доказано древними греками, открывших существование несоизмеримых отрезков. Ниже мы вернемся к алгоритму Евклида, имеющему важное значение при введении понятия числа.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение систем величин.

2. Аксиома Архимеда, алгоритм Евклида.