Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
нужная штука, чтай её, Маша.doc
Скачиваний:
44
Добавлен:
04.08.2019
Размер:
1.09 Mб
Скачать

Глава 3. Действительное число как отношение величин

В этой главе нам хотелось бы подробнее остановится на действительном числе как отношении величин (Ньютон), а затем уже рассмотреть аксиоматически заданное поле действительных чисел.

Такой подход оправдывается самой методикой и математической предметностью развивающего обучения Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова мы впервые (не для детей как у В.В. Давыдова [7, c.165], а для учителей) пробуем здесь “построить” число из представления о величине и измерении.

3.1. ИЗМЕРЕНИЕ, ЧИСЛО – ОТНОШЕНИЕ ВЕЛИЧИН

Попробуем формализовать (обобщить) известную процедуру измерения одной величины другой. Для этого напомним основную теорему и алгоритм Евклида для величин из пункта 3.3., с. 29 (см. приложение). Не нарушая общего смысла мы можем считать, что данная система величин положительна и включает ноль.

Итак, для любых величин a и b можно выбрать параметр n и величину r такие, что a = nb + r,

где r < b, либо r = 0 (по Теореме). Если предположить, что r 0 и полагая теорему для b и r будем иметь:

b = n1 r + r1, 0 r1 b.

Если r 0, то

r = n2 r1 + r2, 0 r2 r.

Эта процедура может быть как конечной, так и бесконечной. Если же она обрывается на первом шаге, т.е. a = nb, то это есть измерение величины a величиной b целым числом раз, если заканчивается на каком-то конечном шаге, то можно считать, что b измеряет a рационально, а если не обрывается, то можно говорить о том, что b измеряет a иррационально. В любом случае эту процедуру, будь она конечной или бесконечной, принято обозначать , где N – некоторый параметр, связанный с тремя типами процедур (целой, рациональной и иррациональной). Другими словами, так выстроенная процедура, во всех трех случаях, задает некоторое соотношение между величинами a и b, которые мы обозначили . При изучении чисел в начальной школе, как правило, это соотношение определяется первым равенством (т.е. b укладывается в a целое число раз). При изучении дробей мы переходим к конечному процессу и получаем рациональные числа.

В этом месте важно зафиксировать, что отношение между величинами a и b может быть трех типов. Фактически это отношение мы и будем изучать как число, т.е. мы заявляем здесь, что есть три типа чисел и называем эти типы традиционно принятыми в математике терминами: целые, рациональные и иррациональные числа.

Понятно, что для более детального изучения этих отношений как чисел нужно выделить некоторое условие и, прежде всего условие равенства, т.е. каким образом, мы можем считать отношение между величинами a и b, c и d равными, иными словами, когда две пары величин задают одно и тоже число. Иными словами: пусть , , каковы условия, что N = M ? Для этого необходимо рассмотреть две процедуры отношения между a и b, и, c и d,

a = bn1 + r1,

b = r1 n2 + r2,

r1 = r2 n3 + r3,

rk-1 = rk nk+1 + rk+1,

с = dn1 + s1,

d = s1 n2 + s2,

s = s2 n3 + s3,

sk-1 = sk nk+1 + sk+1,

Если множество {n, n1, …}= {m, m1, …}, с условием, что n = m, …, ni = mi, …, то мы считаем, что так задаваемое отношение между c и d, равно отношению между a и b, или, другими словами, пары a и b, c и d задают одно и тоже число. Вот так и можно понимать число (т.е. один из способов понимания числа) как отношение величин. Таким образом, всякое отношение между величинами определяется одной последовательностью, которая может состоять из одного элемента (целое число), конечного числа элементов (рациональное число) или бесконечного числа элементов (иррациональное число).

Итак, равенство последовательностей {n, n1, …}= {m, m1, …} задает отношение эквивалентности на множестве пар величин {(a, b)| a, b величины, b 0} и классы эквивалентности являются вещественными числами.

Контрольные вопросы:

  1. Сформулируйте процедуру измерения одной величины другой, используя основную теорему и алгоритм Евклида, приведите примеры таких измерений.

  2. Какие три типа отношения между величинами получаются во время прохождения процедуры измерения одной величины другой?

3. Какие три типа чисел понимаются как отношения между величинами, и каким образом это происходит?