Глава 4. Арифметика натуральных чисел

4.1. Аксиоматика натуральных чисел

Наряду с геометрией арифметика является наиболее непосредственно интуитивной областью математики. Вполне естественно, поэтому именно с арифметики начать попытку формализации и строгого обоснования математики. Первое полуаксиоматическое построение этой дисциплины было предложено Дедекиндом (1901) и стало известно под названием “системы аксиом Пеано”. Эту систему можно сформулировать следующим образом:

1. 1 есть натуральное число;

2. для любого натурального числа х существует другое натуральное число, обозначаемое х и называемое: (непосредственно) следующее за х;

3. 1  х для любого натурального числа;

4. если х = y, то х = y;

5. если Q есть свойство, которым, быть может, обладают одни и не обладают другие натуральные числа, и если

   1. натуральное число 1 обладает свойством Q;

   2. для всякого натурального числа х из того, что х обладает свойством Q, следует, что и натуральное число х обладает свойством Q, то свойством Q обладают все натуральные числа (принцип математической индукции).

Так выстроенная аксиоматика позволяет моделировать натуральные числа как потенциальную бесконечность, как возможность. В этом смысле натуральные числа могут быть рассмотрены как порядковые числа, то есть моделируются как представители: первый, второй, третий и т.д., в отличие от моделирования количественных представлений. К этому вопросу мы вернемся в последующих параграфах.

Здесь следует отметить, что подобная система аксиом, подобное моделирование порядковых чисел хорошо удерживает смысл содержания (представления) об измерении величин. Достаточно рассмотреть или идентифицировать единицу с меркой, а операцию  как трансляцию мерки. Принципом математической индукции вместе с операцией можно моделировать представление об измерении сколько угодно больших величин. Такая модель позволяет тут же связывать натуральные представления о числах с количественным и, что широко используется в методиках как традиционной, так и развивающего обучения в начальной школе, для построения натурального типа эмпирических обобщений.

В этом месте заметим (обратная зависимость, как покажут дальнейшие примеры) отношение линейного порядка на натуральных числах в количественном смысле превращает их в ряд, что само по себе и моделирует порядковые числа.

Рассмотрим еще один подход к изучению натуральных чисел. С алгебраической точки зрения современные тенденции изучения натуральных чисел сводятся к их актуальному заданию и рассмотрению как некоторое вполне упорядоченное кольцо, которое как алгебраическую систему надо рассматривать следующим образом: эта такая система, которая включает в себя множество натуральных чисел, сложение и умножение на них, и линейный порядок. В отличии от натуральных чисел заданных аксиоматикой Пеано (Дедекинда) мы обсуждаем сложение, умножение и сравнение как заданные на множестве натуральных чисел. Понятно, что вычитание и деление как частичные алгебраические операции, а отношения сравнения превращают множество натуральных чисел во вполне упорядоченное кольцо (любое подмножество имеет минимальный элемент).

Такой подход вполне оправдано используется в преподавании математики, что позволяет рассматривать сравнения как данность, и соответствует современным представлениям теории алгебраических систем. Но есть и другой подход.

Только, что рассмотренная аксиоматика Пеано задает отношения как данность, вынуждая нас порядок, сложение и умножение рассматривать как конечные процессы. В этом смысле в натуральном числе более мощно представлена порядковая компонента в отличие от количественной в предыдущем случае. Это оправданно, поскольку метод математической индукции и идеи упорядочивания множества представлены более наглядно. То, что эти два представления, количественное и порядковое, находятся в сложном отношении отражается в следующем примере, не всегда понятном даже профессиональным математикам: (многолог учителя с классом)

Учитель: Сколько чисел лежит между вторым и третьим числом?

Ученик (первоклассник): Ни одного.

Дети знают только натуральные числа.

Учитель: Значит ноль?

Ученики (хором): Ноль.

Учитель: Тогда как его изобразить на модели натуральных чисел?

Именно двойственная природа чисел и их вполне упорядоченность позволяет нам строить одну учебную задачу или другую методику освоения числа, где число рассматривается как порядковый тип. И в этом смысле в аксиоматике Пеано единица может быть понята как мерка, операция  как трансляция мерки и бесконечного ряда как возможность бесконечной трансляции и в этом смысле графема натурального числа

e | | A

1

может быть расширенна до модели натурального ряда следующим образом:

А

e | | |

1

которая фактически включает в себя модель натурального ряда и модель величинного ряда.

Это и позволяет использовать данный материал в начальной школе. Такое порядковое представление о натуральных числах позволяет наполнить новым “содержанием” действительные числа, которые рассматриваются в основном “количественно”.

Такое новое содержание действительных чисел “порождается” теорией пределов, когда каждое число может быть представлено как предел последовательности (с натуральным номерами) рациональных чисел, но это уже “другая история”.

Контрольные вопросы:

1. Сформулируйте систему аксиом Пеано (Дедекинда). Для чего она необходима?

2. В чем состоит принцип математической индукции?

3. Определите множество натуральных чисел как вполне упорядоченное кольцо.

4. Что такое порядковый тип числа?

5. Постройте модель натурального числа.

6. В чем заключается двойственная природа чисел?

Контрольные задачи:

1. Сформулируйте определение отношения a > b и докажите, что оно транзитивно и антисимметрично.

2. Докажите, что если a, b, c – натуральные числа, то:

а) a  b  ac  bc;

в) a + c < b + c  a < b.

3. Опишите в общем виде процесс доказательства методом математической индукции. Из скольких этапов он состоит? Используя метод математической индукции, докажите, что для любого натурального числа n истины утверждения:

а) ; б) ; в) ;

г) (n3 + 3n)/6; д) (4n + 15n - 1)/9; е) (62n-1 + 1)/7.