2.2.2. Тавтологии

Среди всех логических формул особый интерес представляют такие, которые истинны уже в силу одной только своей функционально- истинностной структуры. Такую формулу можно рассматривать как модель логического закона.

Определение 2. Формула А называется тавтологией (тождественно- истинной формулой), если при любых значениях пропозициональных переменных она принимает значение “истина” (1).

С помощью таблицы истинности тавтологию можно определить как формулу, для которой соответствующий ей в таблице столбец целиком состоит из 1. Таким образом, построение таблицы истинности это эффективная процедура для решения вопроса о том, является ли данная формула тавтологией.

Из таблицы истинности для импликации очевидно следует, что при любых значениях пропозиционной переменной А формула (АА) принимает значение 1, т.е. является тавтологией.

Из определения конъюнкции легко получаем, что формула (&()) всегда принимает значение 0 (“ложь”). Тогда формула ((&())) принимает только одно значение – 1 (“истина”), т.е. является тавтологией.

В данном примере мы встретились с формулой ( & ()), которая всегда принимает значение Л. Такие формулы называют противоречиями (тождественно-ложными формулами). Очевидно, что формула А является тавтологией тогда и только тогда, когда формула () - противоречие.

Докажем несколько утверждений общего характера о тавтологиях.

1. Если а, (а  в) - тавтологии, то тавтологией является в.

Предположим , что В не является тавтологией. Тогда В принимает значение “ложь” при некотором наборе значений пропозиционных переменных. Но при этом же наборе значений переменных А имеет значение “истина”, так как А - тавтология (по условию). В таблице истинности такому набору значений А и В импликации (А  В) соответствует значение “ложь”. Получили противоречие с условием, что (А  В) - тавтология.

2. Если А - тавтология, содержащая пропозиционные переменные А₁, А₂ , ... , А_n , и В получается из А подстановкой формул Ф₁, Ф₂ , ... , Ф_n вместо А₁, А₂ , ... , А_n соответственно, то В есть тавтология, т.е. подстановка в тавтологию есть тавтология.

Доказательство: Обозначим А = А (А₁, А₂, ... , А_n), тогда В символически запишется В = А (Ф₁, Ф₂, ..., Ф_n). Нам нужно показать, что 1) В - формула; 2) В - тавтология. Первое следует из определения формулы и из того, что Ф₁, Ф₂, ..., Ф_n - формулы. Пусть задан некоторый набор значений для пропозиционных переменных формулы В. Формулы Ф₁, Ф₂, ..., Ф_n примут тогда некоторые значения х₁, х₂, ... , х_n (каждое х_k есть И или Л). Если мы придадим значения х₁, х₂, ..., х_n соответственно пропозиционным переменным А₁, А₂, ..., А_n, то значение А совпадет с истинностным значением В при заданном распределении значений пропозиционных переменных, входящих в В. Так как А по условию тавтология, то В при этом наборе значений переменных примет значение “истина”. Таким образом, В всегда принимает значение И, т.е. является тавтологией.

Пример: Формула F=(A(BA)) является тавтологией. Действительно, если предположить ,что F принимает значение Л, то А - И, а (В А) - Л. Но импликация (В  А) принимает значение Л только в том случае, когда В - И , а А - Л. Получили противоречие с тем, что А - И. Рассмотрим формулы Ф₁ = = С&A и Ф₂ = ((С) А). Заменим в формуле F пропозиционную переменную А на Ф₁, а В на Ф₂, соответственно. Получим новую формулу F*= ((С& A)   (((С)  А)  (С& A))), которая является тавтологией. Убедимся в этом, составив для нее таблицу истинности.

А	С	( С)	(( C)  A)	(С & A)	((( C)  A)(C& A))	F*
0	0	1	1	0	0	1
0	1	0	0	0	1	1
1	0	1	1	0	0	1
1	1	0	1	1	1	1

Если в формуле F заменить только А на Ф₁ , то получим еще одну тавтологию F** = ((С& A)  (B  (С& A))).

А	В	С	(С& A)	(B  (С& A))	((С& A)  (B  (С& A))).
0	0	0	0	1	1
0	0	1	0	1	1
0	1	0	0	0	1
0	1	1	0	0	1
1	0	0	0	1	1
1	0	1	1	1	1
1	1	0	0	0	1
1	1	1	1	1	1