3.5. Геометрическая интерпритация
Пусть l – некоторая прямая. Отметим на ней произвольную точку О, которую будем называть началом отсчета (или просто началом). Точка О, разбивает прямую l на два луча. Один из этих двух лучей будем считать положительным, а второй – отрицательным. На чертеже принято положительный луч отмечать стрелкой (Рис.1):
l О M N
|
| |
Рис.1
Будем полагать, что указанный отрезок MN принимаем за единицу измерения длин (единую мерка е) отрезков, один конец которых совпадает с точкой О.
При выше приведенных условиях каждой точке А прямой l сопоставляется некоторое действительное число х, называемое координатой точки А. Делается это следующим образом: если точка А лежит на положительном луче, то за х принимаем длину отрезка ОА, измеряемого меркой е = MN если А лежит на отрицательном луче, то за х принимаем отрицательное число, абсолютная величина которого равна длине отрезка ОА.
l О А
| | | | | | | |
x=3
l А О
| | | | | | | |
x=-2
Рис.2
И если точка А совпадает с О, то полагаем, что х = 0.
Итак, каждой точке на прямой l сопоставляется действительное число – координата этой точки. Весьма существенно, что каждое действительное число является координатой некоторой (при этом только одной) точки на прямой l.
Прямая l, на которой указанным способом изображаются действительные числа, называется числовой осью. Для наглядности указывают на числовой оси точки, имеющие целочисленные координаты: …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …, и надписывают эти числа около соответствующих точек (Рис.3).
| | | |
| | |
-3 -2 -1 0 1 2 3
Рис.3
В этом случае единицу измерения M N изображать не обязательно.
Чаще всего числовую ось изображают горизонтально, причем положительным считают правый луч, а отрицательным – левый. В этом случае операции сравнения допускают очень простую геометрическую интерпретацию. Например: решая неравенство х1 > x2 получается, что точка х1 расположена правее точки х2.
Контрольные вопросы:
Что мы называем началом отсчета?
Какие лучи бывают положительными, а какие отрицательными?
Что такое единая мерка и как она задается? Пример.
Дайте определение координаты точки. Пример.
Сформулируйте определение числовой оси. Пример.
3.6. Рациональные и целые числа
Напомним, что с точки зрения предыдущего материала натуральным числом называется такое отношение величины А к мере е, когда е укладывается в А целое число раз. Введением нуля 0 и отрицательных чисел мы получаем целые числа, при чем отрицательные числа можно вводить двумя способами: либо рассматривая разнонаправленные величины, и их отношения, либо задавая преобразование модели, как в начальной школе (т.е. рассматриваем луч, моделирующий натуральные числа, модель расширяется до прямой в левую сторону, на которой симметрично относительно нуля отображаются натуральные числа) называемые отрицательными. И такое модельное представление об отрицательных числах вполне достаточно для их преподавания в школьной математике.
Попробуем
ввести рациональные числа. Подход тоже
двоякий. Традиционно они вводятся как
отношение: вида
, n
0, где m
и n
– целые числа.
С точки зрения числа как отношения величин, понятие о рациональном числе можно ввести следующим образом: рассмотрим графему (граф), моделирующую отношения
е n а
k т
E
Если при измерении величины а мерками е и Е получаются целые числа m и n соответственно, то отношение
~
ke
~ e = (E,
k)
считается рациональным числом.
Отношение
,
где m и n
– целые числа и т
0 называется дробью. Могут ли разные
дроби задавать одно и тоже число? Могут
.
Доказательство: Рассмотрим два рациональных числа к и к1
е1 n а
k т
E |
е1 е а
k1 s
E1 |
т.к. n = km и e = k1 s, то nk1s = mke, если me = sn, то k1 = k, т.е. рациональные числа к и к1 совпадают.
Можно рассуждать
иначе: если дробь
- несократимая, то me
= sn, тогда e
= fn, s
= fm и надо
доказать, что дроби
и
задают одно и тоже число. Это известно
из элементарного курса математики.
Интересно посмотреть, как выглядит Алгоритм Евклида для целых чисел? Их часто используют для нахождения наибольшего общего делителя и других задач теории чисел. И в этом смысле интересным является деление с остатком. Например: при делении 5 на 3 в остатке будет 2, а при делении -1 на 3 в остатке тоже будет 2.
Упражнение 1. Как делятся с остатком отрицательные числа?
Упражнение 2. Доказать, что:
сумма и разность двух рациональных чисел есть рациональное число;
произведение и частное двух рациональных чисел есть рациональное число.
Упражнение 3. Докажите, что не является рациональным числом. Докажите, что множество всех рациональных чисел не является непрерывным.
Упражнение 4. Докажите, что для рациональных чисел аксиомы 1. – 6. поля R является свойствами. Поэтому множество всех рациональных чисел называется полем рациональных чисел и обозначается Q (Q R).
Контрольные вопросы:
Что мы называем натуральным числом?
Определите целые числа.
Определите рациональные числа.
Если разные дроби могут задавать одно и тоже число, то приведите пример таких чисел.