3.2. Диалектическая связь действительных чисел и величин

Можно ли указать современную точку зрения на величину как на поименованное число с процедурой построения действительных чисел? Если величина a задана в виде a = Ne, тогда измерение величины a меркой е это, фактически, и есть число , а мерка есть отношение а к N (e = (a, N)).

Действительно ли это так, если мы посмотрим в общем виде. Пусть , в смысле предыдущего пункта. Возможно ли по процедуре и величине е восстановить величину a, и по процедуре и величине а, найти мерку е? Когда эта процедура конечна, то это весьма очевидно. В случае, когда эта процедура бесконечна, то мы только полагаем, что такое восстановление возможно и под формулой a = Ne мы предполагаем, что с помощью величины e и процедуры N можем восстановить величину a, а формула e = (a, N) означает, что мерка е найдена с помощью величины а и процедуры N.

Надо заметить, что так заданная процедура N неудобна для нахождения a и e. Математики эту задачу давно упростили, введя бесконечную систему мер е, е₁ = е/10, е₂ = = е/10² … и задавая процедуру следующим образом:

a = n₁ e + r₁,

r₁ = n₂ e₁ + r₂,

r₂ = n₃ e₂ + r₃,

…

0  r₁  b, что дает - десятичная (бесконечная) дробь, что упрощает нахождение a и e. Таким образом, зависимость между a, e и процедурой N, задающей отношение между a, e и N, может быть обозначена одной из формул: , , ; но более совершенно обозначать их одной формулой, увязывающей все три:   . Это дает нам новое представление о величинах , .

Другими словами, как в частном случае проявляется эта зависимость? Число , порожденное величинами a, e, дает нам новое представление о величине , т.е. a и e порождая число, фактически порождают свое новое содержание (как поименованное число). Это и есть диалектическая связь действительных чисел и величин. И в этом смысле нам невозможно говорить, что вперед – число или величина. С одной стороны, в традиционной математике a возникает как поименованное число после числа и эта логика весьма продуктивна, исторически опробована, на ней выстроена логика величины в математике. С другой стороны, мы только что показали, не менее содержательным, не менее “правильным” является понимание числа как отношения величин принятое в теории и практике РО.

Контрольные вопросы:

1. Как вы понимаете, что такое поименованное число?

2. В чем состоит диалектическая связь действительных чисел и величин?

3.3. Отношения и операции на числах

Определим теперь операции сложения, умножения и отношение сравнения чисел.

Начнем со сложения. Фактически мы должны говорить о двух числах, т.е. о двух процедурах (связях). Рассмотрим их: и , т.е. мы берем одну из формул обозначения числа: , , ; тогда мы можем определить процедуру вида , и эту процедуру будем обозначать (называть) суммой, коротко N  M = K (сложение не величин), где через “+” обозначено сложение величин, а через  сложение чисел.

Перейдем к сравнению. Мы можем сравнить процедуры N  M по формуле N  M   a  b.

При таком определении может возникнуть вопрос: конечно, удобно складывать, если мерили одной меркой, но как сложить числа вида и ? Где b и f могут иметь совсем другую природу, отличную от a и e. Или как сравнить эти две процедуры? Оказывается это можно сделать следующим образом. Так как мерка f и процедура N заданы, то мы можем восстановить величину b₁ = Nf. откуда, в силу определения процедуры, следует, что . Теперь мы можем определить отношение сравнения N  S  b₁  b, и операцию сложения . Поскольку формулы , позволяют нам использовать определение сложения и сравнения.

Так сложение понимается теоретически, а среди способов сложения мы выделим способы характерные для школ: присчитывание, параллельный сдвиг числовой прямой, табличный и калькуляторный. И очень важно различать теоретическое содержание и способы сложения чисел, в частности, в традиционной системе понимание операции сложения подменяются способами. А поскольку для иррациональных чисел способ сложения обсуждать весьма проблематично, то его и не обсуждают, полагаясь на то, что в эмпирическом опыте ребенка достаточно для понимания математики в целом. Возможно, это и так.

В последнее время в методике математики тройственное содержание величины и числа   принято обозначать моделью вида:

N

е  A

предполагая, что эта модель содержит все три типа отношений: , , , эта модель есть “сборка” тройственной формулы числа, т.е. фактически и есть число. Она позволяет строить ряд интересных задач в методике математики связанных с нахождением е, одного параметра по двум заданным другим.

Говоря об умножении мы фактически мы опять должны вести разговор о некоторой комбинации процедур измерения.

Какую же связь процедур можно считать умножением? В.В. Давыдов пишет, ссылаясь на Лебега, что умножение есть всегда смена меры. Попробуем более подробно раскрыть это.

Рассмотрим при измерении величины а смену мер:

, , ,

где Е – промежуточная мерка. Или (что не меняет сути):

а = Ne, a = MЕ, E = Ke.

Тогда между этими процедурами (числами) существует зависимость, она называется умножением и обозначается N = M * K.

В виде графа будем иметь:

е N а

M K

E

Точнее, если невозможно измерить а сразу, а находится обходной путь, то в этом случае можно говорить об умножении, и обозначаем N = M*K. А если невозможно измерить величину а меркой Е, то , и мы говорим о делении.