Добавил:

sutkowska92 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Бухарский инженерно-технологический институт

Предмет:

Высшая математика

Файл:

КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. Ч2.pdf

Скачиваний:

211

Добавлен:

27.05.2019

Размер:

1.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 209 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

= (x1 − a) + (x2 − x1 ) +... + (xn−1 − xn−2 ) + (b − xn−1 ) = b − a

⌠ dx = lim(b − a) = b −a . ⌡ λ→0

Имеем

				b
				⌠
	b			f (x) dx
	⌠			⌡
	⌠			a
m(b − a) ≤ f (x) dx ≤ M (b		− a) , или	m ≤	a	≤ M .
m(b − a) ≤ f (x) dx ≤ M (b		− a) , или	m ≤	b − a	≤ M .
	⌡			b − a
	a
	b
Число	⌠	является	промежуточным между наи-
Число	f (x) dx (b − a) = μ	является	промежуточным между наи-
	⌡
	a

меньшим значением m функции f (x) и ее наибольшим значением M . По свойству непрерывных на [a ; b] функций f (x) принимает все свои промежуточные значения, т.е. существует c [a ; b] такое, что f (c) = μ . Тогда

⌠ f (x) dx = f (c) (b − a) .

⌡

§ 4. Определенный интеграл с переменным верхним пределом интегрирования

Пусть y = f (x) – функция, непрерывная на [a ; b]. Рассмотрим инте-

грал ⌠ f (x) dx . При заданной подынтегральной функции значение интеграла

⌡

зависит от обеих границ интегрирования a и b . Если закрепить нижнюю границу a и изменять верхнюю границу b , то интеграл будет функцией своей верхней границы. Чтобы подчеркнуть, что верхняя граница переменная, обозначим ее через x . Переменную интегрирования, чтобы не смешивать ее с верхней границей, обозначим через t . Как мы уже говорили ранее, интеграл не зависит от того как обозначается переменная интегрирования. Таким образом, интеграл с переменной верхней границей является некоторой функцией x :

J (x) = ⌠ f (t) dt .

⌡

Теорема. Производная интеграла J (x) по переменной верхней грани-

це равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена верхней границей, т.е.

d ⌠ f (t) dt = f (x) . dx ⌡

Доказательство.

J (x + x) =

J = J (x +

Но

x+ x

⌠ f (t) dt .

⌡

a
x+ x	x

x) − J (x) = ⌠ f (t) dt −⌠ f (t) dt .
⌡	⌡
a	a

x+ x	x	x+ x	x+ x
⌠ f (t) dt = ⌠ f (t) dt +		⌠ f (t) dt , отсюда	⌠ f (t) dt = J .
⌡	⌡	⌡	⌡
a	a	x	x

По теореме о среднем значении

		x+	x
		⌠ f (t) dt = f (c)
		⌡
Тогда		x
Тогда		x
		x
	d	⌠ f (t) dt = dJ (x)		= lim	J
		⌠ f (t) dt = dJ (x)		= lim	x
	dx ⌡		dx	x→0	x

x , где x ≤ c ≤ x + x .

= lim	f (c)	x	= lim f (c) =
	x
x→0			x→0

=	x → 0 x + x → x c → x	= f (x) .
	x → 0 x + x → x c → x
	f (t) −непрерывная lim f (c) = f (x)
	c→x

§ 5. Формула Ньютона-Лейбница

В предыдущем параграфе мы установили, что функция J (x) = ⌠ f (t) dt

⌡

является первообразной для непрерывной подынтегральной функции f (x) . Как известно, всякая другая первообразная для функции f (x) отличается от J (x) только постоянным слагаемым. Поэтому, если F(x) – другая первообразная для f (x) , то J (x) = F(x) +C , или

⌠ f (t) dt = F(x) +C .

⌡

	31
a	a
J (a) = ⌠ f (t) dt .	Отсюда имеем: ⌠ f (t) dt = F(a) +C = 0 C = −F(a) .
⌡	⌡
a	a

Значит,

⌠ f (t) dt = F(x) − F(a) .

⌡

В частности, при x = b имеем:

⌠ f (t) dt = F(b) − F (a) – формула Ньютона-Лейбница.

⌡

Эта формула показывает, что, для того чтобы вычислить определенный интеграл, нужно найти какую-либо первообразную F (x) для подынтеграль-

ной функции f (x) и взять разность ее значений в верхней и нижней границах интегрирования.

Пример.

1 2	dx		1 2
⌠		= arcsin x	1 2
⌠

	1− x2
⌡	1− x2		0
0

= arcsin 12 −arcsin 0 = π6 −0 = π6 .

§ 6. Замена переменной в определенном интеграле

Как и в случае неопределенного интеграла, вычисление определенного интеграла можно упростить с помощью замены переменной.

Предположим,		что нужно	вычислить определенный интеграл
b
⌠	f (x)	– непрерывная на [a ; b]. Перейдем от переменной x к
f (x) dx , где	f (x)	– непрерывная на [a ; b]. Перейдем от переменной x к
⌡
a
переменой t , полагая x = ϕ(t) . Пусть			α и β – числа, такие, что ϕ(α) = a и

ϕ(β) = b , и при этом выполняются условия:

1)ϕ(t) и ϕ′(t) – непрерывны на [α ; β];

2)при изменении t от α до β значения функции ϕ(t) не выходят за

пределы отрезка a ≤ x ≤ b .

При этих условиях имеет место следующая формула замены переменной в определенном интеграле:

b	β
⌠	⌠	′
f (x) dx = f [ϕ(t)]ϕ (t) dt .
⌡	⌡

								32
Доказательство.	Пусть		F (x) –			первообразная для функции f (x) , т.е.
′
F (x) = f (x) . Тогда по формуле Ньютона-Лейбница
			b
			⌠			= F (b) − F (a) .		(*)
			f (x) dx			= F (b) − F (a) .		(*)
			⌡
			a
Теперь покажем, что функция F(ϕ(t))							будет первообразной для функции
′
f [ϕ(t)]ϕ (t) . Действительно:
dF (ϕ(t))		dF (x)			dF (x)	dx	′	′
dt	=	dt		=	dx	dt =	f (x) ϕ (x) = f [ϕ(t)] ϕ	(t) .
По формуле Ньютона-Лейбница имеем:
β
⌠		′			= F(ϕ	(β)) − F(ϕ(α)) = F (b) − F (a) .		(**)
f [ϕ(t)]ϕ (t) dt					= F(ϕ	(β)) − F(ϕ(α)) = F (b) − F (a) .		(**)
⌡
α
Из () и (*) следует, что			b			β
			b			β
		⌠				⌠	′
		f (x) dx = f [ϕ(t)]ϕ (t) dt .
		⌡				⌡
			a			α

Пример.

x = 2sin t,

dx = 2 cos tdt

π 2

⌠

4 − x2 dx =

⌠

4 − 4sin 2 t

x = 0 t = 0, x = 2 t = π 2

⌡

π 2

⌠

dt =

⌠

sin 2t

= π

cos

+ cos 2t) dt = 2 t +

−0

⌡

2 cos t dt =

§ 7. Интегрирование по частям в определенном интеграле

Пусть u = u(x) и v = v(x) – две функции, непрерывные вместе со своими первыми производными на [a; b].

		′			′		(1)
d[u v] = u dv +v du = u(x) v (x) dx + v(x) u						(x) dx .	(1)
Интегрируем тождество (1) в пределах от a до b , получим
b	b		b
⌠	⌠	′	⌠		′		(2)
d [u(x) v(x)] = u(x) v (x) dx + v(x) u (x) dx .							(2)
⌡	⌡		⌡
a	a		a
По формуле Ньютона-Лейбница
	b			b
	⌠			b
	⌠			.
	d [u(x) v(x)] = u(x) v(x)			.
	⌡			a
	a

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 209 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
27.05.20193.56 Mб276КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. Ч1.pdf
#
27.05.20191.54 Mб211КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. Ч2.pdf
#
27.05.201920.05 Mб9395Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс.pdf