7
2.Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла, т.е.
|
|
|
|
⌠ |
|
⌠ |
f (x) dx . |
|
|
|
|
|
|
|
k f (x) dx = k |
|
|
||||
Доказательство. |
|
⌡ |
|
⌡ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
⌠ |
f ( x) dx = k f ( x) dx ; |
|
|
|
|
|
||||
d k |
|
|
|
|
|
|||||
⌡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
⌠ |
|
= k d |
⌠ f (x) dx = k f (x) dx . |
|
|
||||
d k |
f (x) dx |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
⌡ |
|
|
|
⌡ |
|
|
|
|
|
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
⌠ |
|
= d |
⌠ k f (x) dx |
k ⌠ |
f (x) dx = |
⌠ k f (x) dx |
|
||
d k |
f (x) dx |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
⌡ |
|
|
⌡ |
|
|
⌡ |
|
⌡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.4 Геометрический смысл неопределенного интеграла
y |
F(x) +C1 |
|
F(x) +C2
F(x) +C3
O |
x |
Рис. 4.1
Нахождение кривой y = F(x) , зная, что тангенс угла наклона касательной в каждой ее точке есть заданная функция абсциссы этой точки f (x) .
§ 2. Основные методы интегрирования
2.1 Интегрирование методом разложения
Пример 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
⌠ x3 |
+ 2x − 3 |
|
|
|
|
⌠ |
1 |
|
2 |
|
2 |
|
1 |
1 |
⌠ |
2 |
|
2 ⌠ |
⌠ dx |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
x |
|
+ |
|
− |
dx = |
|
x |
|
dx+ |
dx − |
|
= |
||||||
|
3x |
|
|
3 |
|
3 |
3 |
|
x |
|||||||||||||||||
⌡ |
|
|
|
|
|
|
|
⌡ |
|
|
|
|
x |
⌡ |
|
|
3 ⌡ |
⌡ |
|
|||||||
= |
|
x3 |
+ |
2 |
x − ln |
|
x |
|
+C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
9 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8
Пример 2.
⌠ |
dx |
|
⌠ cos2 |
x +sin2 x |
⌠ |
dx |
⌠ |
dx |
|
|
|
|
= |
⌡ cos2 x sin2 x |
dx = |
|
+ |
|
|
= −ctg x + tg x +C . |
|
|
|
|
|
|||||||
⌡ cos2 x sin2 x |
|
⌡ sin2 x |
⌡ cos2 |
x |
||||||
2.2 Интегрирование методом замены переменной
Во многих случаях удается введением вместо переменной интегриро-
⌠
вания x новой переменной u свести данный интеграл f (x) dx к новому
⌡
интегралу, который или содержится в таблице основных интегралов, или легко вычисляется другим способом. Этот метод интегрирования получил название метода замены переменной или метода интегрирования подстановкой.
Введем вместо x новую переменную u такую, что x =ϕ(u) , где ϕ(u) – непрерывная монотонная функция, имеющая непрерывную производную. Покажем, что имеет место равенство:
⌠ |
⌠ |
′ |
(1) |
f (x) dx = f (ϕ(u))ϕ (u) du |
|||
⌡ |
⌡ |
|
|
Действительно,
d ⌠ f (x) dx = f (x) dx ;
⌡
⌠ |
′ |
|
|
′ |
|
d |
f (ϕ(u))ϕ (u) du |
= f (ϕ(u))ϕ (u) du = f (x) dx . |
|
||
⌡ |
|
|
x |
dx |
|
|
|
||||
|
|
|
|
||
Равенство (1) – формула замены переменной в неопределенном интеграле.
|
Пример 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
⌠ |
dx |
|
|
|
|
x = az, |
|
|
⌠ |
adz |
|
|
⌠ |
|
|
dz |
|
= arcsin z +C = arcsin |
x |
+C . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
dx = adz |
|
a2 − a2 z |
|
|
|
1 − z2 |
|
a |
||||||||||||||||||
⌡ |
a2 − x2 |
⌡ |
2 ⌡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Пример 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
⌠ |
|
|
|
|
|
ax = z, |
|
|
⌠ 1 |
cos zdz = |
1 |
sin z +C = |
1 |
sin ax +C . |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
cos ax dx = |
|
adx = dz |
|
= |
a |
a |
|
|
||||||||||||||||||||
⌡ |
|
|
|
|
|
|
⌡ a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Пример 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
⌠ |
|
⌠ sin x |
|
|
|
cos x = z, |
|
|
|
|
⌠ dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
tg x dx = |
|
|
dx |
= |
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
= −ln |
z |
+C = −ln |
cos x |
+C . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
⌡ |
|
⌡ cos x |
|
|
|
−sin xdx = dz |
|
|
|
|
⌡ |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
9
2.3 Интегрирование по частям
Пусть u = u(x) и v = v(x) – две функции от x , имеющие непрерывные производные. Из дифференциального исчисления мы знаем, что
d(u v) = u dv + v du . |
(*) |
Интегрируя обе части равенства, имеем |
|
или
⌠
u dv
⌡
⌠ d (u v)
⌡
=⌠ d (u
⌡
=⌠ u dv + ⌠ v du ,
⌡⌡
v) − ⌠ v du = uv − ⌠ v du .
⌡⌡
(Произвольная постоянная C включается в вычитаемый интеграл.)
|
|
Формула |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
⌠ |
|
|
|
⌠ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u dv |
= uv − v du |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
⌡ |
|
|
|
⌡ |
|
|
|
|
|
называется формулой интегрирования по частям. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Пример 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
⌠ |
|
|
u = x, du = dx, |
|
|
|
= x ex |
|
⌠ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x exdx = |
dv = exdx, v = ∫exdx = ex |
|
− exdx = x ex − ex +C . |
|||||||||||||
⌡ |
|
|
|
|
|
⌡ |
|
|
|
|||||||
|
|
Пример 7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
⌠ |
(x2 |
+ 2x +1) sin x dx = |
|
u = x2 + 2x +1, du = 2x + 2, |
|
= (x2 + 2x +1)( |
−cos x) + |
|||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
⌡ |
|
|
|
|
|
|
dv = sin x dx, |
|
|
v = −cos x |
|
|
|
|||
|
⌠ |
(x +1) cos x dx = |
|
u = x +1, |
du = dx, |
|
= (x2 + 2x +1)(−cos x) |
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
+ |
2 |
|
dv = cos x dx, |
v = sin x |
|
+ |
||||||||||
|
⌡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
⌠ |
|
|
+ 2x |
|
+1)(−cos x) + 2(x +1) sin x + 2 cos x +C = |
||||||||
+ 2(x +1) sin x − 2 sin x dx = (x2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
⌡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= −(x2 + 2x −1) cos x + 2(x +1) sin x +C .