§3. Интегрирование простейших рациональных дробей

I.

A

;

III.

Mx + N

;

x − a

x2 + px + q

II.

A

,

n = 2, 3, ... ;

IV.

Mx + N

, n = 2, 3, ... ,

(x − a)n

(x2 + px + q)n

где

A , M , N ,

p , q , a – действительные числа, а трехчлен

x2 + px + q не

имеет действительных корней, т.е. p2 − 4q < 0 .

Рассмотрим теперь как интегрируется каждый из четырех типов про-

стейших рациональных дробей.

⌠ A

⌠ dx

⌠ d (x − a)

I.

dx = A

= A

= A ln

x − a

+C .

⌡ x − a

⌡ x − a

⌡

x − a

Пример 2.

⌠

dx

⌠

−3

(x −

1)−2

1

= ( x −1)

d (x −1) =

+C = −

+C .

−1)

3

−

2

2(x −1)

2

⌡ (x

⌡

⌠ Mx + N

t = 1 (x2

+ px + q)′ = x +

p

,

2

2

III. J =

dx =

p

=

⌡ x2

+ px + q

x = t −

, dx = dt

2

⌠

M (t − p 2) + N

⌠ Mt + N − Mp 2

q −

p2

= a2

=

dt =

dt =

4

=

2

− pt + p

2

4

+ pt − p

2

2

+ q

t

2

+ q − p

2

4

⌡ t

⌡

⌠

tdt

Mp

⌠

dt

Mp

= M

+

N −

= M J1

+ N −

J2 .

2

+ a

2

2

2

+ a

2

⌡ t

⌡ t

2