13

§ 4. Интегрирование дробно-рациональных функций

Определение. Многочленом n -й степени по переменной x с действительными коэффициентами называется выражение

где a0 , a1 , …, an – действительные числа, называемые коэффициентами многочлена (1).

Определение. Корнем многочлена (1) называется число a такое, что

Pn (a) = 0.

Имеет место следующая теорема, которую принимаем без доказатель-

ства.

Теорема 1. Всякий многочлен n -й степени с действительными коэффициентами можно представить в виде разложения:

соответственно t1 , t2 , …, tk ;

p1 , q1 , p2 , q2 , …, pm , qm – действительные числа.

Причем квадратные трехчлены в круглых скобках не имеют действительных корней.

t1 + t2 +... + tk + 2l1 + 2l2 +... + 2lm = n .

Определение. Дробно-рациональной функцией или просто рацио-

нальной дробью называется функция вида

R(x) = Pn (x) ,

Qm (x)

где Pn (x) и Qm (x) – многочлены от x степени n и m соответственно.

Определение. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя. В противном случае рациональная дробь называется неправильной.

Замечание. Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.

14

В самом деле, пусть R(x) = Pn (x) – неправильная рациональная дробь,

Qm ( x)

т.е. n ≥ m . Тогда, разделив числитель на знаменатель, получим тождество

Pn (x) = Qm (x) L(x) + r(x) ,

где частное L(x) и остаток r(x) – многочлены, причем степень остатка r(x) меньше степени знаменателя m . Отсюда имеем представление

Pn (x) = L(x) + r(x) ,

Qm (x) Qm (x)

где r(x) – правильная рациональная дробь.

Qm (x)

Таким образом, интегрирование неправильной рациональной дроби Pn (x)

Qm (x)

сводится к интегрированию многочлена L(x) и правильной рациональной

дроби r(x) .

Qm (x)

Т.к. интегрировать многочлены мы умеем, то остается рассмотреть интегрирование правильных рациональных дробей.

Интегрирование правильных рациональных дробей. Метод неопределенных коэффициентов

ложении существенное значение имеет разложение знаменателя дроби Qm (x)

на произведение линейных и квадратичных множителей.

Пусть для определенности знаменатель Qm (x) разлагается на множители следующим образом:

Qm (x) = (x − a)k (x −b)l (x2 + px + q) p ,

где квадратичный трехчлен x2 + px + q не имеет действительных корней. Тогда имеет место следующая теорема, которую мы примем без доказательства.

где Ai , Bi , Mi , Ni (i =1, 2, ... ) – действительные числа.

Из формулы (*) видно, что линейным множителям знаменателя Qm (x)

в разложении соответствуют простейшие рациональные дроби I и II типов, а квадратичным – простейшие дроби III и IV типов.

Следует заметить, что правило разложения правильной дроби на простейшие дроби остается справедливым при любом конечном числе линейных и квадратичных множителей в разложении знаменателя Qm (x) .

Одним из наиболее простых методов определения коэффициентов в разложении правильной дроби на простейшие (*) является метод неопределенных коэффициентов. Поясним применение этого метода на примерах.

J = 3x + ln x + 2arctg x + C .