Дифференциальные уравнения высших порядков

левую часть которого входит вторая производная, называется дифференциальным уравнением 2-го порядка.

Определение. Уравнение вида y′′ = f (x; y; y′) называется разрешенным относительно второй производной.

Пример 1. Решить уравнение y′′ = x . Решение. Последовательно интегрируя, найдем:

ность решений называется общим решением.

Частное решение уравнения отыскивается при помощи задания началь-

начальные условия в выражения для общего решения и его производной, получим систему уравнений:

52

6.2 Дифференциальные уравнения высших порядков

Определение. Порядком дифференциального уравнения называют наивысший порядок производной, входящей в уравнение.

Определение. Дифференциальное уравнение n -го порядка вида y(n) = f (x; y; y′; ...; y(n−1) ) называется разрешенным относительно старшей

производной.

Общее решение такого уравнения зависит от n произвольных постоян-

ных:

y = ϕ(x; C1; C2 ; ...; Cn ) .

Чтобы выделить частное решение, отвечающее конкретным условиям

задачи, нужно задать начальные условия, они имеют следующий вид

т.е. при x = x0 задаются значения самой функции и ее первых (n −1) производных. Дифференцируя (n −1) раз общее решение и подставляя начальные

условия, мы получим систему n уравнений с n неизвестными C1 , C2 , …,

Cn .

6.3Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

1.Уравнения вида

y(n) = f (x) .

Последовательно интегрируя n раз, находим общее решение.

2.Если в уравнение не входит искомая функция y , т.е. оно имеет вид

F(x; y(k ) ; y(k +1) ; ...; y(n) ) = 0,

то порядок уравнения можно понизить, взяв за новую неизвестную функцию низшую из производных, входящих в уравнение, т.е. сделав замену y(k ) = z .

Решение. Уравнение не содержит y , поэтому замена y′ = z , y′′ = z′. После подстановки получаем

z′+ xz = x – линейное уравнение.

Пусть C = C(x) , тогда z = C(xx) и подставляем в линейное уравнение.

3. Если в уравнение не входит независимая переменная x , т.е. уравнение

имеет вид

F( y; y′; y′′; ...; y(n) ) = 0 ,

то порядок уравнения можно понизить, взяв за новую независимую переменную y , а за неизвестную функцию y′ = p( y) .