Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. Ч2.pdf
Скачиваний:
206
Добавлен:
27.05.2019
Размер:
1.54 Mб
Скачать

37

 

0

 

 

0

 

 

 

 

S = 4S1 = 4

 

3

t 3a cos

2

t (sin t) dt =

y(t) x (t) dt = 4

a sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π 2

 

π 2

 

 

 

 

π 2

 

 

 

π 2

 

 

 

 

=12a2 sin 4 t cos2 t dt =12a2 sin 2 t sin 2 t cos2 t dt =

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

=12a

π2

sin

0

π 2

sin

0

π 2

cos 2t

 

sin 2

2t

 

2 1

 

dt =

 

2

4

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

π2

2 2t dt = 1 [1cos 4t]dt 2

0

3

 

 

 

π 2

 

 

 

 

 

π 2

 

 

 

 

a

2

 

2

 

 

 

 

2

 

= J .

2

 

 

sin

 

2t dt sin

 

2t cos 2t dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

1

 

sin 4t

 

π 2

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

2

t

4

 

 

0

=

4

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u = sin t, du = cos 2t 2dt,

 

1

0

2 2t cos 2t dt =

=

u 2 du = 0 .

 

t = 0 u = 0, t = π 2 u = 0

 

2

 

 

 

 

0

J =

3

a

2

 

π

=

3a2π

(кв.ед.).

2

 

4

8

 

 

 

 

 

 

 

 

8.2

Вычисление площади в полярных координатах

Пусть дан криволинейный сектор OAB , ограниченный радиусамивекторами OA и OB , и кривой, уравнение которой задано в полярных координатах ρ = ρ(ϕ) (рис. 5.9). При

B

этом предположим, что ρ(ϕ) не-

Ai M

прерывная на [α; β ] функция.

Пусть радиус-вектор OA об-

i Ai1

 

разует с осью l угол α , а радиус-

 

вектор OB – угол β . Разобьем угол

 

 

~

 

A

OAB на части с помощью лучей,

 

 

 

 

 

β

ϕi

 

 

выходящих из полюса O и обра-

O

α

 

l

зующих с полярной осью углы:

 

 

 

 

 

Рис. 5.9

 

 

α < ϕ1 < ϕ2 <K< ϕn1 < β ;

 

 

 

 

обозначим ϕ0

=α и ϕn = β .

Обозначим точки пересечения лучей с кривой через A1 ,

A2 , …, An1 . Криво-

линейный сектор OAB разобьется на n малых криволинейных секторов

AOA1 , A1OA2 , …, An1OB . Углы AOA1 , A1OA2 , …, An1OB соответственно

равны

ϕ1 =ϕ1 ϕ0 ,

ϕ2

= ϕ2 ϕ1 , …,

ϕn = ϕn ϕn1 . Если обозначить че-

 

38

рез S площадь всего криволинейного сектора, а через

Si – площадь малого

криволинейного сектора, ограниченного лучами OAi1 и OAi , то

n

 

S = Si .

(4)

i=1

Далее поступим следующим~образом.~Внутри каждого малого сектора Ai1OAi проведем луч под углом ϕi (ϕi1 < ϕi < ϕi ). Точку пересечения этого

луча с кривой обозначим через M i . Тогда OM i = ρ(ϕ~i ) = ρi . Заменим теперь каждый малый криволинейный сектор Ai1OAi круговым сектором с центром в точке O радиуса ρi . Площадь каждого такого кругового сектора равна

12 ρi2 ϕi и дает приближенное значение площади соответствующего криво-

линейного сектора. Таким образом, имеем

Si

1

ρi2

ϕi . Тогда

 

 

 

2

 

 

 

n

 

 

 

 

 

S 1 ρi2

ϕi .

 

 

 

(5)

i=1 2

 

 

 

 

 

Точность этого приближенного равенства повышается с уменьшением

ϕi .

Поэтому точное значение площади S криволинейного сектора получится как предел площади фигуры, составленной из круговых секторов, при условии, что все ϕi 0 . Таким образом,

 

n

 

 

 

S = lim

1

ρi2

ϕi .

ϕi 0

i=1

2

 

 

Т.к. правая часть (5) есть интегральная сумма для непрерывной функции

1

ρ2 (ϕ) , то ее предел есть определенный интеграл, т.е.

 

2

 

 

 

β

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S =

1

ρ

2

(ϕ) dϕ .

(6)

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α

 

 

 

 

 

 

Пример 6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

ρ = 2 cosϕ , ρ =1

(вне круга ρ =1).

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Линия

ρ = 2 cosϕ представляет собой смещенную окружность

 

π 3

 

( ρ 0

cosϕ 0 π 2 ϕ π 2 );

 

 

 

линия

 

ρ =1 – окружность радиуса 1 с цен-

 

 

 

тром в полюсе (рис. 5.10). Найдем точки пе-

O

1

2 l

ресечения линий:

 

 

 

 

 

 

 

ρ = 2 cosϕ,

 

2 cosϕ =1 ϕ = ±

π

.

 

 

 

 

ρ =1,

3

 

π

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.10