Добавил:

sutkowska92 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Бухарский инженерно-технологический институт

Предмет:

Высшая математика

Файл:

КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. Ч2.pdf

Скачиваний:

177

Добавлен:

27.05.2019

Размер:

1.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2019 20 > Следующая >>>

Имеют место следующие утверждения:

1)Каждому k -кратному действительному корню r характеристического уравнения соответствует k частных решений вида:

erx , xerx , , xk −1erx

2) Каждой паре t -кратных комплексно сопряженных корней r1 = α + βi , r2 =α − βi характеристического уравнения соответствует 2t частных

решений вида:
eαx cos βx ,	xeαx cos βx ,	xt −1eαx cos βx ,
eαx sin βx ,	xeαx sin βx ,	xt −1eαx sin βx .

Общая сумма кратностей всех корней должна равняться степени характеристического уравнения n .

§8. Системы дифференциальных уравнений

8.1Общие определения. Нормальные системы уравнений

Определение. Системой дифференциальных уравнений называется совокупность уравнений, в каждое из которых входит независимая переменная, искомые функции и их производные.

Всегда предполагается, что число уравнений равно числу неизвестных функций. Независимую переменную будем обозначать буквой t , а неизвестные функции этой переменной или через x1 (t) , x2 (t) , …, xn (t) , или, если их

не больше трех, через x(t) , y(t) , z(t) . Производные по t обозначаются точ-

ками.

Решением системы дифференциальных уравнений называется совокупность функций x1 = x1 (t) , x2 = x2 (t) , …, xn = xn (t) , которая при подстановке

в каждое из уравнений превращает его в тождество.

Определение. Нормальной системой дифференциальных уравнений

называется система уравнений вида
x1 = f1 (t, x1 , x2 , K, xn ),
	&
	&	= f2 (t, x1	, x2	, K, xn ),
x2					(1)

K K K K K
	&	= fn (t, x1	, x2	, K, xn ).
xn

Нормальная система уравнений может быть заменена одним дифференциальным уравнением, порядок которого равен числу уравнений системы. Эта замена часто позволяет решать такие системы.

Пример 1. Решить систему

x& =y =&z& =

x− y + z.

--------------------------------------------------

Решение. Продифференцируем первое уравнение по t и заменим производную y& ее выражением из второго уравнения

&x&= y& = z .

Продифференцируем еще раз и заменим z& ее выражением из третьего уравнения

&x&&= z& = x − y + z .

Т.к. y = x&, z = &x&, то окончательно получим

&x&&− &x&+ x&− x = 0 – линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Характеристическое уравнение r3 − r 2 + r −1 = 0 , или (r −1)(r 2 +1) = 0 , имеет корни r1 =1, r2,3 = ±i . Следовательно,

x = C1 et +C2 cost +C3 sin t .

Т.к. y = x& и z = &x&, то

y= C1 et −C2 sin t +C3 cost ,

z= C1 et −C2 cos t −C3 sin t .

Общее решение нормальной системы (1) имеет вид

x	=ϕ (t, C		, C		, K, C		),
1	1	1		2		n
x2 = ϕ2 (t, C1 , C2 , K, Cn ),
K K K K K K
x	=ϕ	(t, C		, C		, K, C		),
n	n	1		2		n

где C1 , C2 , …, Cn – произвольные постоянные.

Начальные условия, при помощи которых из общего решения выделяется частное, задаются следующим образом:

x1 t =t0 = x10 , x2 t =t0 = x20 , …, xn t =t0 = xn0 .

Подставляя начальные условия в общее решение, получаем систему уравнений для определения произвольных постоянных

	ϕ	(t, C	, C	, K, C		) = x		,
	1	1	2		n	10
	ϕ2 (t, C1 , C2 , K, Cn ) = x20 ,

K K K K K K
	ϕ	(t, C	, C		, K, C	) = x	n0		.
	n	1	2		n		n0

Теорема. Если правые части нормальной системы непрерывны вместе со своими частными производными в окрестности значений t0 , x10 , x20 , …,

xn0 , то существует единственная система функций x1 (t) , x2 (t) , …, xn (t) , яв-

ляющаяся решением системы и удовлетворяющая заданным начальным условиям.

8.2Системы линейных дифференциальных уравнений

спостоянными коэффициентами

Рассмотрим систему линейных однородных дифференциальных уравнений

x1 = a11 x1 + a12 x2 +K+ a1n xn ,
	&
	&	= a21x1 + a22 x2 +K+ a2n xn	,
x2				(2)

K K K K K K K
	&	= an1 x1 + an2 x2 +K+ ann xn	,
xn

или в векторной форме

x&1 x& = Ax , где x& = M ,

x&n

x	a		a	K a
x		11	12	1n
1	a21		a22	K a2n
x = M	, A =	K	K	K K	.
		K	K	K K
xn			an2
	an1		an2	K ann

Составим характеристическое уравнение:

	a11 − λ	a12	K	a1n
	a11 − λ	a12	K	a1n
	a21	a22 − λ K a2n			= 0 .
	K	K	K	K
	an1	an2	K ann − λ
Пусть характеристическое уравнение имеет n различных корней λ1 ,
λ2 , …, λn , Пусть каждому λk			соответствует		собственный вектор

( p1k , p2k , K, pnk ) , где k =1, 2, K, n .

Тогда система дифференциальных уравнений имеет n решений: 1-е решение, соответствующее корню λ = λ1

x11 = p11eλ1t , x21 = p21eλ1t , …, xn1 = pn1eλ1t ;

2-е решение, соответствующее корню λ = λ2

x12 = p12eλ2t , x22 = p22eλ2t , …, xn2 = pn2eλ2t ;

… … … … … … … … … … …

n -е решение, соответствующее корню λ = λn

x1n = p1neλnt , x2n = p2neλnt , …, xnn = pnneλnt .

Мы получили фундаментальную систему решений. Общее решение системы таково

= C

+K+C

= C1 x21 +C2 x22 +K+Cn x2n ,

K K K K K K K K

= C

+K+C

Если среди простых корней характеристического уравнения есть комплексные, то и решение получится в виде комплексных функций. Если при этом коэффициенты системы (2) вещественны, то решение можно выразить только через вещественные функции. Для этого надо воспользоваться тем, что вещественная и мнимая части комплексного решения, соответствующего корню λ = α + βi ( β ≠ 0 ), является линейно независимыми решениями.

			Если характеристическое уравнение имеет корень λ кратности m , то
этому			корню	соответствует		решение	x	= P (t) eλt ,	x	2	= P (t) eλt , …,
							1	1		2	2
x	n	= P (t) eλt ,		где P (t) ,	P (t) , …, P (t)		–	многочлены степени не выше
	n		n	1	2	n

m −1.

Пример 2. Решить систему

=−7x + y,

=−2x −5y.

Решение.

Составим характеристическое уравнение:

−7 −λ

= 0 ,

− 2

−5 −λ

(−7 − λ)(−5 − λ) + 2 = 0 , (7 + λ)(5 + λ) + 2 = 0 ,

λ2 +12λ +37 = 0 .

Решим полученное уравнение:

−12 ± 2i

D =144 − 4 37 =144 −148 = −4 ,

= −6 ±i .

1,2

Возьмем корень λ = −6 +i . Найдем собственный вектор μ(a;b) :

( A −λE)μ = 0

(−1−i)a +b = 0,

b = (1+i)a,

=1,

− 2a + (1−i)b

= 0,

=1+i.

2a = 2a,

Решение, соответствующее корню λ = −6 + i

имеет вид

x = e(−6+i)t = e−6t (cost +i sin t) ,

y = e(−6+i)t (1+i) = e−6t (cost −sin t +i(sin t + cos t)) .

Тогда

= Re e(−6+i)t

= e−6t

cos t,

= Re(1+i)e(−6+i)t = e−6t (cost −sin t),

= Im e(−6+i)t

= e−6t

sin t,

= Im(1+i)e(−6+i)t = e−6t (sin t

+ cos t).

Общее решение

x = C1

x1 +C2 x2

x =

C e−6t

cos t +C

e−6t sin t,

y = C1

x1 +C2 y2 ,

y =

e−6t (cos t −sin t) +C

e−6t (sin t + cos t).

Пример 3.

Решить систему

+3x ,

x = 7x

(*)

x2 = 6x1 + 4x2 .

Решение. Составим характеристическое уравнение:

7 −λ

= 0 ,

4 −λ

(7 −λ)(4 −λ) −18 = 0 , λ2 −11λ +10 = 0 .

Решим полученное уравнение:

11±9

D =121− 4 10 = 81,

λ =1,

=10 .

1,2

Возьмем корень

λ =1. Найдем собственный вектор μ(a;b) :

( A −λE)μ = 0

6a +3b = 0,

2a +b = 0

=1,

= −2.

6a +3b = 0,

Решение, соответствующее корню λ =1 имеет вид

x = et

= −2et .

Возьмем корень

λ =10 . Найдем собственный вектор μ(a;b) :

( A −λE)μ = 0

−

3a +

3b = 0,

a −b = 0

a =1,

6a −3b = 0,

b =1.

Решение, соответствующее корню λ =10 имеет вид

x = e10t ,

= e10t .

Общее решение

= C

et +C

e10t

2-й способ.

x2 = −2C1 et +C2 e10t .

Итак, корни характеристического уравнения

λ1 =1, λ2

=10 . Исходя из

структуры общего решения, будем искать общее решение в виде

x = C

et +C

e10t ,

(**)

x2 = a et +b e10t .

Выразим a и b через C1 и C2 . Для этого подставим (**) в (*):

et +10C

e10t

= 7C et + 7C

et +3a et +3b e10t ,

a et +10b e10t = 6C1et +6C2 e10t + 4a et + 4b e10t .

Приравняем коэффициенты при одинаковых членах в правой части и левой части:

C		= 7C	+3a,	a = −2C		,
	1	1			1
	10C2 = 7C2 +3b,			b = C2 .

Таким образом, общее решение имеет вид

x = C et +C

e10t ,

x2 = −2C1 et +C2 e10t .

Пример 4. Решить систему

x = y,

+ e

−t

y = x + e

Решение. Решим однородную систему

x = y,

(3*)

y = x.

Составим характеристическое уравнение:

−λ 1

= 0 , λ2 −1 = 0 , λ =1, λ

= −1.

1 −λ

Общее решение будем искать в виде

= C

et +C

e−t ,

(4*)

= a et +b

e−t .

Выразим a и b через C1

и C2 . Для этого подставим (4*) в (3*) и приравняем

коэффициенты при одинаковых членах слева и справа:

et −C

e−t = a et +b e−t ,

= C1 ,

et +C

e−t ,

= −C2 .

a et −b et =

Таким образом,

x =

e−t

y =

−C

e−t

– общее решение однородной системы.

Пусть

C1 = C1 (t) , C2 = C2 (t) . Тогда

x = C (t) et +C

(t) e−t

– подставим в исходную систему уравнений.

y = C (t) et −C

Имеем:

C′(t)

+C (t) et

+C′(t) e−t −C

(t) e−t

= C (t) et

−C

(t) e−t

C1′(t) et +C1 (t) et −C2′(t) e−t +C2 (t) e−t = C1 (t) et +C2 (t) e−t

+ et + e−t ,

C′

(t) et +C′(t)

e−t = 0,

C′(t) = −C′(t) e2t ,

+ e−t

C1′(t) et −C2′(t) e−t = et

2C1′(t) et = et + e−t ,

C′

(t) = 0,5(1+ e−2t ),

+1).

Тогда

C2′(t) = −0,5(e2t

⌠ 1

(1+ e

−2t

) dt =

(t −0,5e

−2t

) +C1 ,

C1 (t) =

⌡ 2

C2	⌠	1	(e	2t	+1) dt = −	1	(t + 0,5e	2t	) +C2 .
	(t) = −	2				2
	⌡

Таким образом, общее решение неоднородной системы уравнений

x = C et	+ 0,5(t −0,5e−2t )et +C				2	e−t	−0,5(t + 0,5e2t )e−t =
1					2
= C	et +C	2	e−t	+t et −e−t		− 1 e−t + et		,
1		2		2		2	2
				2		2	2
y = C et +0,5(t −0,5e−2t )et +0,5(t + 0,5e2t )e−t −C									2	e−t =
1									2
= C	et −C	2	e−t	+t et + e−t		+ 1 et −e−t .
1		2		2		2	2
				2		2	2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2019 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
27.05.20193.56 Mб249КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. Ч1.pdf
#
27.05.20191.54 Mб177КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. Ч2.pdf
#
27.05.201920.05 Mб9031Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс.pdf