44

Глава VI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§ 1. Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения

10. Радиоактивный распад. Экспериментальным путем установлено, что скорость радиоактивного распада пропорциональна количеству нераспавшегося вещества. Считая, что начальное количество вещества равна M0 ,

найдем зависимость между количеством нераспавшегося вещества M и времени t .

Скорость радиоактивного распада равна производной от количества

где k – коэффициент пропорциональности. Знак минус берется потому, что с возрастанием t количество вещества M уменьшается. Полученное уравнение (1) называется математической моделью данного физического процесса.

20. Охлаждение тела. Согласно закону, установленному Ньютоном, скорость охлаждения тела пропорциональна разности между температурой тела и температурой окружающей среды.

Пусть тело нагрето до температуры T0 ; температуру окружающей среды будем считать постоянной и равной Tc (Tc < T0 ). Найдем зависимость ме-

жду изменяющей температурой T тела и временем охлаждения t .

Пусть в момент времени t температура тела равна T . Скорость изме-

ских свойств тела, так и от его геометрической формы.

§2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Общие понятия. Теорема существования

Вуравнениях (1) и (2) § 1 наряду с известной функцией входит и ее производная. Эти уравнения называются дифференциальными уравнениями.

где y – неизвестная функция от x , а f (x) – заданная функция, называется простейшим дифференциальным уравнением.

45

Для решения уравнения (1) нужно проинтегрировать данную функцию f (x) . При этом мы получим бесчисленное множество функций, каждая из

которых будет удовлетворять условию (1), т.е.

y= ⌠ f (x) dx +C .

⌡

Определение. Дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производную.

Т.к. производную можно представить в виде отношения дифференциалов, то уравнение может содержать не производную, а дифференциалы неизвестной функции и независимой переменной.

Уравнения, в которых неизвестная функция зависит от одного аргумента, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Дифференциальное уравнение 1-го порядка в общем виде записывается

так:

F (x; y; y′) = 0 .

В частных случаях в левую часть уравнения могут не входить x или y , но всегда обязательно входит y′.

Определение. Уравнение вида y′ = f (x; y) называется разрешенным

относительно производной.

Определение. Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке ее вместе с производной в это уравнение превращает его в тождество.

множество решений, которые определяются формулой, содержащей одну произвольную постоянную. Эту совокупность решений будем называть общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка и записывать так:

y =ϕ(x; C) .

Придавая произвольной постоянной C определенные числовые значения, мы будем получать частные решения.

Чтобы из общего решения выделить частное решение, необходимо задать начальное условие. Задать начальное условие дифференциального уравнения 1-го порядка это значит указать пару соответствующих друг другу значений независимой переменной x0 и функции y0 :

y x=x0 = y0 .

46

Пример 2.

Найти частное решение дифференциального уравнения

y′ = xy , y x=2 = 6 .

Решение. Уравнение имеет общее решение y = Cx (см. пример 1). Подстав-

ляя начальное условие в общее решение, имеем

6 = C 2 , следовательно, C = 3.

Таким образом, функция y = 3x удовлетворяет дифференциальному уравнению и начальному условию.

Теорема (существования и единственности решения).

Если, кроме того, непрерывна и частная производная ддfy , то это реше-

ние единственно.

Теорема впервые была сформулирована и доказана Коши. Задачу по отысканию частного решения по начальным условиям называют задачей Коши.

График любого частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Общему решению соответствует семейство интегральных кривых.

Пример 3. y′ = xy .

Общее решение – y = Cx , соответствующее семейство интегральных кривых – пучок прямых, проходящих через начало координат.

Задание начального условия y x=x0 = y0 означает задание точки P0 (x0 ; y0 ) , через которую должна проходить интегральная кривая, соответст-

вующая искомому частному решению, т.е. из семейства кривых мы выбираем ту, которая проходит через точку P0 (x0 ; y0 ) . Согласно теореме существова-

ния и единственности решения, через каждую точку, в которой функции f (x; y) и ддfy непрерывны, проходит единственная интегральная кривая. Ес-

ли в данной точке эти условия нарушены, то это означает, что через эту точку либо вообще не проходит ни одна интегральная кривая, либо проходит несколько.

Общее решение y =ϕ(x; C) дифференциального уравнения y′ = f (x; y) обладает тем свойством, что из него по любому заданному возможному на-

47

чальному значению y x=x0 = y0 может быть найдено частное решение, удов-

летворяющее этому условию.

Геометрическое место точек плоскости (x; y) , в которых наклон касательных к решениям уравнения y′ = f (x; y) один и тот же, называется изоклиной. Уравнение изоклины имеет вид f (x; y) = k , где k – постоянная. Чтобы приближенно построить решения уравнения y′ = f (x; y) , можно на-

чертить достаточное число изоклин, а затем провести решения, т.е. кривые, которые в точках пересечения с изоклинами f (x; y) = k1 , f (x; y) = k2 , …

имеют касательные с угловыми коэффициентами соответственно k1 , k2 , ….

§ 3. Уравнения с разделяющимися переменными

Рассмотрим уравнение вида

где f1 ( y) и f2 (x) – заданные функции.

Вэтом дифференциальном уравнении переменные разделены, т.е. каждая из переменных содержится только в той части уравнения, где находится

еедифференциал.

Вобеих частях уравнения (1) стоят дифференциалы некоторых функций; справа этот дифференциал выражен прямо через независимую переменную x , а слева через промежуточный аргумент y , который является функци-

ей от x . Именно эта зависимость y от x и является искомой. Произведя интегрирование, мы получим связь между переменными x и y , освобожденную от их дифференциалов:

Если задано начальное условие y x=x0 = y0 , то, определяя постоянную C , получим частное решение, удовлетворяющее данному условию.

Решение. Интегрируя обе части уравнения, получим:

Очень часто встречаются уравнения, в которых переменные еще не разделены, но их можно разделить, производя простые арифметические действия.