Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. Ч2.pdf
Скачиваний:
206
Добавлен:
27.05.2019
Размер:
1.54 Mб
Скачать

42

Пример 3.

Найти длину кривой ρ = 2sin ϕ .

Решение. Линия ρ = 2sinϕ представляет собой смещенную окружность

 

 

( ρ 0

 

sin ϕ 0 0 ϕ π ). Тогда длина

 

2

искомой кривой (рис. 5.12) равна

 

 

 

β

 

π

 

 

 

L =

ρ2 + ρ2

sin 2 ϕ + cos2 ϕ dϕ =

 

 

 

dϕ = 2

 

 

 

 

 

 

 

 

α

 

0

 

 

 

 

π

 

 

O

l

=

 

 

2 dϕ = 2π .

 

 

 

Рис. 5.12

 

 

 

 

 

 

0

 

 

§ 10. Объем тела

Пусть дано тело, ограниченное замкнутой поверхностью, и пусть известна площадь любого его сечения, произведенного плоскостью, перпендикулярной к некоторой прямой, например, к оси абсцисс (рис. 5.13).

При этом можно считать, что площадь такого сечения является известной нам функцией S(x) , где x – абс-

 

 

 

 

 

 

цисса точки пересече-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ния

указанной плоско-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сти с осью x .

 

x1

 

x2

 

a

 

b

x лее,

Предположим да-

 

 

 

 

 

 

что все тело за-

 

 

Рис. 5.13

 

ключено между двумя

 

 

 

перпендикулярными к

оси x плоскостями,

 

 

 

 

пересекающими ее в точках a и b ( a < b ). Для опреде-

ления объема такого тела разобьем его на слои с помощью секущих плоскостей, перпендикулярных к оси x и пересекающих ее в точках x0 = a , x1 , x2 ,

…, xn = b . Заменим каждый слой прямым цилиндром с той же высотой и основанием, равным S(xi ) ; объем прямого цилиндра равен произведению пло-

щади его основания на высоту. Поэтому объем n -ступенчатого тела выразится суммой

n1

Vn = S(x0 )(x1 x0 ) + S(x1 )(x2 x1 ) +... + S(xn1 )(xn xn1 ) = S(xi ) xi .

i=0

43

Предел полученной суммы, а она является интегральной суммой для функ-

ции S(x) на отрезке [a ; b], при n → ∞ и при стремлении наибольшего

xi к

нулю и даст нам искомый объем

 

b

 

(1)

V = S(x) dx .

 

a

 

Если рассматриваемое тело получается вращением криволинейной трапеции, ограниченной линией y = f (x) вокруг оси Ox , то поперечным сече-

нием с абсциссой x служит круг, радиус которого равен соответствующей ординате линии y = f (x) . (Если y < 0 , то радиус равен y .) В этом случае

S(x) =π y2 ,

и мы приходим к формуле для объема тела вращения

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V =π

,

 

где y = f (x) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

 

 

 

 

 

 

y2 dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример.

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

y2

 

 

z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти объем трехосного эллипсоида

 

+

 

+

=1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2

 

b2

c2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Его плоскими сечениями,

 

перпендикулярными, например, к оси

 

z

 

 

 

y

 

 

Ox (рис. 5.14), являются эллипсы с по-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

c

 

 

 

 

 

луосями

 

 

 

 

b

 

1

 

 

 

 

 

и

 

c 1

,

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2

 

 

 

 

 

a2

 

 

 

 

 

 

 

a x a .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

 

 

 

 

a x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Площадь S(x) поперечного сече-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ния в точке x известна:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S(x) = πb

 

1

 

2 c 1

 

 

2

 

 

 

 

2

;

 

Рис. 5.14

 

 

 

 

a

a

 

= πbc 1

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

3

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

πabc .

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V = πbc 1

 

a

dx = 2πbc 1

a

dx =

2πbc x

3a

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если две из полуосей равны между собой, например, c = b , то эллипсо-

ид превращается в шар объема V = 4

πa3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3