42

Пример 3.

Найти длину кривой ρ = 2sin ϕ .

Решение. Линия ρ = 2sinϕ представляет собой смещенную окружность

§ 10. Объем тела

Пусть дано тело, ограниченное замкнутой поверхностью, и пусть известна площадь любого его сечения, произведенного плоскостью, перпендикулярной к некоторой прямой, например, к оси абсцисс (рис. 5.13).

При этом можно считать, что площадь такого сечения является известной нам функцией S(x) , где x – абс-

ления объема такого тела разобьем его на слои с помощью секущих плоскостей, перпендикулярных к оси x и пересекающих ее в точках x0 = a , x1 , x2 ,

…, xn = b . Заменим каждый слой прямым цилиндром с той же высотой и основанием, равным S(xi ) ; объем прямого цилиндра равен произведению пло-

щади его основания на высоту. Поэтому объем n -ступенчатого тела выразится суммой

n−1

Vn = S(x0 )(x1 − x0 ) + S(x1 )(x2 − x1 ) +... + S(xn−1 )(xn − xn−1 ) = ∑S(xi ) xi .

i=0

43

Предел полученной суммы, а она является интегральной суммой для функ-

Если рассматриваемое тело получается вращением криволинейной трапеции, ограниченной линией y = f (x) вокруг оси Ox , то поперечным сече-

нием с абсциссой x служит круг, радиус которого равен соответствующей ординате линии y = f (x) . (Если y < 0 , то радиус равен y .) В этом случае

S(x) =π y2 ,

и мы приходим к формуле для объема тела вращения