61

yчаст = x(sin x − x cos x) .

Общее решение исходного уравнения

y = yодн + yчаст = C1 cos x +C2 sin x + x(sin x − x cos x) .

Утверждение. Пусть правая часть уравнения (1) равна сумме двух функций: f (x) = f1 (x) + f2 (x) , а y1 и y2 есть решения уравнений с той же ле-

вой частью, но с правыми частями, соответственно равными f1 (x) и f2 (x) ; тогда y1 + y2 будет решением данного уравнения.

7.4 Метод вариации произвольных постоянных

Этот метод позволяет отыскивать частное решение линейного уравнения с правой частью

где C1 (x) и C2 (x) – неизвестные функции, подлежащие определению, а y1 и y2 – известные частные решения уравнения без правой части (2).

Продифференцируем равенство (*)

y′ = C1′y1 +C1 y1′ +C2′ y2 +C2 y2′ .

Положим

Тогда

y′ = C1 y1′ +C2 y′2 .

Продифференцируем еще раз

Таким образом, приходим к системе уравнений

62

C1′y1 +C2′ y2 = 0,

C1′y1′ +C2′ y2′ = f (x).

Определитель этой системы в нуль не обращается:

ми функции C1 и C2 . Если при интегрировании производных C1′ и C2′ ввести

произвольные постоянные, то мы сразу получим общее решение неоднородного уравнения.

y2 = sin x . Общее решение однородного уравнения имеет вид

y = C1 cos x +C2 sin x .

Решение исходного уравнения будем искать в виде y = C1 (x) cos x +C2 (x) sin x .

Таким образом,

C1 (x) = sin x −ln tg π4 − 2x +C1 .

C2 (x) = ⌠sin x dx = −cos x +C2 .

⌡

Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид

где коэффициенты a1 , a2 , …, an – функции независимой переменной x или

постоянные величины.

Соответствующее однородное уравнение имеет вид

Рассмотрим систему функций ϕ1 (x) , ϕ2 (x) , …, ϕn (x) , определенных в

одном и том же интервале. Линейной комбинацией этих функций называется выражение

C1 ϕ1 (x) +C2 ϕ2 (x) +... +Cn ϕn (x) ,

где C1 , C2 , …, Cn – постоянные величины.

Определение. Система функций ϕ1 (x) , ϕ2 (x) , …, ϕn (x) называется

линейно независимой, если ни одну из этих функций нельзя представить в виде линейной комбинации остальных.

Это означает, например, что не может быть равенства

ϕ1 (x) = k2 ϕ2 (x) + k3 ϕ3 (x) +... + kn ϕn (x) ,

где k2 , k3 , …, kn – постоянные величины.

Следовательно, ни одна из линейно независимых функций не может тождественно равняться нулю. В частности, две функции ϕ1 (x) и ϕ2 (x) ли-

нейно независимы, если их отношение не есть константа: ϕ2 (x) ≠ const .

ϕ1 (x)

Система функций, не являющаяся линейно независимой, называется линейно зависимой.

Теорема (о структуре общего решения линейного уравнения n-го порядка). Если y1 , y2 , …, yn – n частных линейно независимых решений

уравнения (8), то общим решением этого уравнения является их линейная комбинация

Существует простое условие линейной независимости частных решений y1 , y2 , …, yn – неравенство нулю определителя Вронского (определи-

тель, составленный из функций y1 , y2 , …, yn и их производных):

64

Линейно независимые решения линейного уравнения n -го порядка образуют фундаментальную систему решений.

Утверждение. Общее решение линейного уравнения n -го порядка с правой частью (7) слагается из общего решения соответствующего ему однородного уравнения (8) и какого-либо частного решения самого уравнения.

Метод вариации произвольных постоянных употребляется и в случае линейных уравнений любого порядка n . Для его применения нужно знать фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения.

Утверждение. Если y1 , y2 , …, yn – фундаментальная система реше-

ний уравнения

y(n) + a1 y(n−1) + a2 y(n−2) +... + an−1 y′+ an y = 0 ,

то решением уравнения

y(n) + a1 y(n−1) + a2 y(n−2) +... + an−1 y′+ an y = f (x)

является функция

y = C1 y1 +C2 y2 +... +Cn yn ,

где C1 , C2 , …, Cn – функции независимой переменной, производные которых C1′, C2′ , …, Cn′ удовлетворяют следующей системе n линейных алгебраических уравнений:

7.6Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

спостоянными коэффициентами

Решение линейных уравнений с постоянными коэффициентами любого порядка производится аналогично решению уравнений 2-го порядка.

Пусть дано однородное уравнение n-го порядка:

где a1 , a2 , …, an – действительные постоянные.

Характеристическим уравнением для него называется уравнение n-ой степени:

r n + a1 r n−1 +K+ an−1 r + an = 0 .