54

§ 7. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

7.1 Линейные уравнения второго порядка. Общие свойства

Определение. Линейным дифференциальным уравнением 2-го порядка называется уравнение первой степени (линейное) относительно неизвестной функции и ее производных. Будем записывать его в виде

Функция f (x) называется правой частью уравнения. Если функция f (x) тождественно равна нулю, то уравнение (1) называется линейным

уравнением без правой части (или однородным). В противном случае уравнение (1) называется линейным уравнением с правой частью (или неоднородным).

Если в некотором интервале a ≤ x ≤ b функции a1 (x) , a2 (x) и f (x) непрерывны, то уравнение (1) при любых начальных условиях

y x=x0 = y0 , y′ x=x0 = y0′ , где x0 (a; b)

имеет единственное решение, удовлетворяющее этим условиям.

Из общего решения при любых заданных возможных начальных условиях может быть найдено частное решение, удовлетворяющее этим услови-

ям.

Пусть заданы начальные условия y x=x0 = y0 , y′ x=x0 = y0′ , причем точка x0 принадлежит интервалу, где функции a1 (x) и a2 (x) непрерывны. В частности, если a1 и a2 – постоянные, то x0 может быть любым. Подставляя

начальные значения в выражения для общего решения и его производной, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно C1 и

C2 :

Чтобы эта система имела решение при любых правых частях, необхо-

вить как сумму общего решения соответствующего уравнения без правой

части (2) и какого-нибудь частного решения данного уравнения (1).

Таким образом, чтобы найти общее решение уравнения с правой частью, нужно найти общее решение соответствующего уравнения без правой части и лишь одно какое-нибудь частное решение заданного уравнения. Это

можно записать так:

y = C1 y1 +C2 y2 +ϕ(x) ,

где y1 и y2 – частные решения соответствующего уравнения без правой части, а ϕ(x) – частное решение уравнения с правой частью.

7.2 Уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами без правой части

Отсюда видно, что функция erx будет решением дифференциального уравнения (2), если r будет корнем квадратного уравнения (4).

Уравнение (4) называется характеристическим.

Чтобы составить характеристическое уравнение, нужно в данном дифференциальном уравнении (2) y заменить единицей, а каждую производную

искомой функции ( y′ и y′′) – величиной r в степени, равной порядку произ-

водной ( r и r 2 ).

Возможны три случая для корней r1 и r2 характеристического уравнения (предполагается, что a1 и a2 – действительные числа):

1)r1 и r2 – действительные и различные числа: r1 ≠ r2 ;

2)r1 и r2 – действительные и равные числа: r1 = r2 ( r1 – двукратный

корень уравнения (4);

3) r1 и r2 – комплексные сопряженные числа: r1 =α + βi , r2 =α − βi ,

β ≠ 0 .

Случай 1: r1 ≠ r2 .

Общее решение в случае действительных и разных корней характеристического уравнения дается формулой

y = C1 er1x +C2 er2 x ,

где C1 и C2 – произвольные постоянные.

Легко проверить, что определитель (3) в данном случае не равен нулю; составим этот определитель, задаваясь каким-нибудь значением x0 :

57

Найдем частное решение по начальным условиям: y x=0 = 2 и y′ x=0 = −5 .

Составим систему уравнений относительно C1 и C2 :

Искомое частное решение y = −e2 x +3e−x .

Случай 2: r1 = r2 .

В случае действительных равных корней характеристического уравнения общее решение уравнения (2) имеет вид

y = (C1 +C2 x) er1x .

Легко проверить, что определитель (3) ни при каком значении x0 не равен нулю:

В случае комплексных сопряженных корней характеристического уравнения общее решение имеет вид

y = eαx (C1 cos βx +C2 sin βx) .

Пример 3. Решить уравнение y′′− 4 y′+13y = 0.

Решение. Характеристическое уравнение r 2 −4r +13 = 0 имеет комплексные сопряженные корни r1 = 2 +3i и r2 = 2 −3i . Общее решение имеет вид

y= e2 x (C1 cos 3x +C2 sin 3x) .

7.3Уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

справой частью

Рассмотрим линейное уравнение с постоянными коэффициентами a1 и a2 и с правой частью

58

Общее решение уравнения (1) есть сумма общего решения соответствующего уравнения без правой части и частного решения уравнения с правой частью.

Общее решение уравнения без правой части мы умеем находить. Найдем частное решение уравнения (1).

Рассмотрим некоторые частные случаи, в которых решение находится методом неопределенных коэффициентов.

где Q(x) – многочлен той же степени, что и P(x) , причем, если число m не

если является, то k – кратность этого корня.

Принимая решение в указанной форме, мы находим неизвестные коэффициенты многочлена Q(x) по методу неопределенных коэффициентов.

Правило сохраняет свою силу и тогда, когда m = 0 , т.е. в правой части стоит только многочлен; в этом случае надо проверить, не является ли число 0 корнем характеристического уравнения. В частных случаях многочлен P(x) может быть нулевой степени, т.е. постоянной величиной.

Пример 4. Решить уравнение y′′− 2 y′+ y =1+ x .

Решение. Характеристическое уравнение r 2 − 2r +1 = 0 имеет корень r =1 кратности 2. Общее решение однородного уравнения

yодн = (C1 +C2 x) ex .

Правая часть уравнения имеет форму (5), причем m = 0 , P(x) =1+ x . Т.к. 0 не

является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде

yчаст = Ax + B ,

где A , B – постоянные, подлежащие отысканию.

Дифференцируя и подставляя в дифференциальное уравнение, находим

− 2A + Ax + B =1+ x .

Приравнивая коэффициенты в обеих частях равенства при подобных членах

A =1, − 2A + B =1,

находим A =1, B = 3 . Таким образом, частное решение имеет вид

yчаст = x +3.

Общее решение

y = yодн + yчаст = (C1 +C2 x) ex + (x +3) .

Пример 5. Решить уравнение y′′− 4 y′+3y = 3e2 x .

Решение. Характеристическое уравнение r 2 − 4r +3 = 0 имеет корни r =1,

59

r = 3 . Общее решение однородного уравнения

yодн = C1 ex +C2 e3x .

Правая часть уравнения имеет форму (5), причем P(x) = 3 ; m = 2 – не явля-

ется корнем характеристического уравнения, поэтому k = 0. Частное решение ищем в виде

y = A e2 x ,

где A – постоянная, подлежащая отысканию. Тогда y′ = 2Ae2 x , y′′ = 4Ae2 x .

Подставляя y , y′, y′′ в исходное уравнение, получим

4Ae2 x −8Ae2 x +3Ae2 x = 3e2 x , откуда A = −3 .

Следовательно,

yчаст = −3e2 x ,

общее решение исходного уравнения

y = yодн + yчаст = C1 ex +C2 e3x −3e2 x .

2. Пусть правая часть уравнения (1) имеет вид f (x) = a cos nx +bsin nx .

Если числа ±in не являются корнями характеристического уравнения, то уравнение имеет частное решение вида

y = Acos nx + B sin nx .

Если же числа ±in служат корнями характеристического уравнения, то частное решение имеет вид

y= x ( Acos nx + B sin nx) .

Вчастных случаях, когда a = 0 или b = 0 , решение все равно следует искать в указанном полном виде.

Пример 6. Решить уравнение y′′+ 4 y′+13y = 5sin 2x .

Решение. Характеристическое уравнение r 2 + 4r +13 = 0 имеет корни r = −2 ±3i . Общее решение однородного уравнения

yодн = e−2 x (C1 cos3x +C2 sin 3x) .

Т.к. числа ± 2i не являются корнями характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде

yчаст = Acos 2x + B sin 2x .

Дважды дифференцируем:

y′ = −2Asin 2x + 2B cos 2x , y′′ = −4Acos 2x − 4B sin 2x .

Полученные выражения подставим в уравнение:

− 4Acos 2x − 4B sin 2x −8Asin 2x +8B cos 2x +13Acos 2x +13B sin 2x = 5sin 2x .

Приравнивая друг другу коэффициенты при sin 2x и cos 2x в обеих частях равенства, получим:

60

Таким образом, частное решение имеет вид

yчаст = − 298 cos 2x + 299 sin 2x .

Общее решение исходного уравнения

теристического уравнения, то частное решение следует искать в виде

yчаст = emx [R1 (x) cos nx + R2 (x) sin nx] ,

где R1 (x) и R2 (x) – многочлены степени, равной высшей из степеней много-

членов P1 (x) и P2 (x) .

Если числа m ±in являются корнями характеристического уравнения, то указанную форму частного решения следует умножить на x .

Замечание 1. Случай 1 получается из приведенного общего при n = 0 , а случай 2 при m = 0 , P1 (x) = a , P2 (x) = b .

Замечание 2. В результате решения может случиться, что степень одного из многочленов R1 (x) и R2 (x) будет меньше взятой первоначально, т.е. некото-

рые старшие коэффициенты этого многочлена окажутся равными нулю.

Пример 7. Решить уравнение y′′+ y = 4x sin x .

Решение. Характеристическое уравнение r 2 +1 = 0 имеет корни r = ±i . Общее решение однородного уравнения

yодн = C1 cos x + C2 sin x .

Здесь m = 0 , n =1, поэтому частное решение ищем в виде

yчаст = x[(Ax + B) cos x + ( A1 x + B1 ) sin x].

Имеем

y′′ = [−Ax2 + (4A1 − B)x + (2A + 2B1 )]cos x +

Следовательно, частное решение имеет вид