23
|
|
m = −1, |
|
n = 3, |
|
|
|
p = − 1 , |
|
m +1 |
= 0 −целое, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2tdt |
|
|
2 |
⌠ |
dt |
|
|||||
= |
1+ x |
3 |
= t |
2 |
, |
3x |
2 |
dx = 2tdt, |
|
dx = |
, |
= |
= |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3x2 |
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
−1 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
= dx |
|
|
|
|
2tdt |
|
|
|
2dt |
|
|
|
⌡ t 2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
x 1+ x3 |
|
|
xt |
|
|
|
|
3x3t |
|
3(t 2 −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
2 |
⌠ |
|
dt |
|
|
= J . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3 |
|
|
−1)(t +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
⌡ (t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Разложим подынтегральную функцию: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
= |
A |
|
|
+ |
|
B |
|
= t( A + B) + A − B . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
(t −1)(t +1) |
t −1 |
|
t +1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
A + B = 0, |
|
|
A − B =1, |
|
|
|
Следовательно,
Тогда:
B = −A, |
|
A =1 2, |
|
||||
|
|
= −1 2. |
|
||||
2A =1, |
|
|
B |
|
|||
1 |
= |
|
1 |
− |
1 |
. |
|
(t −1)(t +1) |
2(t −1) |
2(t +1) |
|||||
|
|
|
|||||
J = |
2 |
|
1 |
⌠ dt |
|
⌠ dt |
|
|
1 |
(ln |
|
t −1 |
|
t +1 |
|
)+C = |
1 |
|
t −1 |
|
+C = |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
= |
|
|
−ln |
|
|
ln |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
3 |
|
2 |
⌡ t −1 |
⌡ t +1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
t +1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= |
1 |
ln |
|
1+ x3 |
−1 |
|
+C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1+ x3 |
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
§ 7. Понятие об интегралах, не берущихся в элементарных функциях
Как мы видели в дифференциальном исчислении, производная элементарной функции есть функция элементарная. Другое дело операция, обратная дифференцированию – интегрирование. Можно привести многочисленные примеры таких элементарных функций, первообразные от которых хотя и существуют, но не являются элементарными функциями. Так, например, хотя
по теореме существования для функций e−x2 , |
sin x |
, |
cos x |
, |
1 |
существуют |
|
x |
x |
ln x |
|||||
|
|
|
|
первообразные, но они не выражаются в элементарных функциях. Несмотря на это, все эти первообразные хорошо изучены и для них составлены подробные таблицы, помогающие практически использовать эти функции.
Если первообразная для некоторой функции не является элементарной функцией, то говорят, что интеграл не берется в элементарных функциях.
Для его исследования нужно применять специальные методы (или пользоваться уже готовыми таблицами).