4

Глава IV НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§ 1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Теорема существования

1.1Понятие первообразной и неопределенного интеграла

Вдифференциальном исчислении мы решали следующую основную задачу: по данной функции найти ее производную. Многочисленные вопросы науки и техники приводят к постановке обратной задачи: для данной функции f ( x) найти такую функцию F(x) , производная которой равнялась бы

заданной функции f (x) , т.е.

Функция F(x) , связанная с функцией f ( x) соотношением (1), называ-

ется ее первообразной.

Таким образом, мы пришли к следующему определению:

Определение. Первообразной функцией от данной функции f (x) называется функция, производная которой равна данной функции.

Пример 1.

Пусть дана функция f (x) = x3 .

Функция F(x) = 14 x4 является первообразной, т.к. F′(x) = 14 4x3 = x3 .

Отыскание по данной функции ее первообразной составляет одну из основных задач интегрального исчисления.

Возникает вопрос: для всякой ли функции существует первообразная?

Теорема 1. Любая непрерывная на отрезке [a ; b ] функция f (x) име-

ет на этом отрезке первообразную.

Если функция, для которой мы ищем первообразную, имеет точки разрыва, то мы будем ее рассматривать только в тех интервалах, где она непрерывна.

Задача отыскания по данной функции ее первообразной решается неоднозначно. В самом деле, если, например, f (x) = x2 , то первообразной для

произвольно выбранная постоянная. Поэтому, естественно, возникает вопрос об отыскании всех первообразных от данной функции.

Теорема 2. Если функция F(x) есть первообразная от функции f ( x) на отрезке [a ; b ], то всякая другая первообразная от функции f (x) на отрез-

--------------------------------------------------

© Тимофеев В.А., Тимофеев А.А., 2011

5

ке [a ; b ] отличается от функции F(x) на постоянное слагаемое, т.е. может быть представлена в виде F(x) + C , где C – постоянная.

⌠

f (x) dx .

⌡

Здесь:

f (x) – подынтегральная функция;

f (x) dx – подынтегральное выражение; x – переменная интегрирования.

Пример 2.

⌠ x4 dx = x5 +C .

5

⌡

Действие отыскания неопределенного интеграла или, что то же самое, нахождение всех первообразных от данной функции, называется интегрированием этой функции.

Из определения первообразной имеем:

Свойство 1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

Свойство 2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная.