Добавил:

sutkowska92 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Бухарский инженерно-технологический институт

Предмет:

Высшая математика

Файл:

КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. Ч2.pdf

Скачиваний:

177

Добавлен:

27.05.2019

Размер:

1.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2010 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Тогда (2) примет вид

	b	b
u(x) v(x)	b	⌠
u(x) v(x)		= u(x)
	a	⌡
		a

Откуда имеем

v′(x) dx + ⌠ v(x) u′(x) dx .

⌡

b		b	b
⌠	′	b	⌠	′	(3)
u(x) v (x) dx = u(x) v(x)			− v(x) u (x) dx .		(3)
⌡		a	⌡
a			a

Формула (3) – формула интегрирования по частям в определенном интеграле.

Пример.

u = x +1,

du = dx,

⌠

(x +1) ex dx =

= (x +1) ex

⌠

dv = e

dx, v = e

− ex dx =

⌡

= [(x +1) ex −ex ] 1

= xex

= e −0 = e .

§8. Вычисление площадей плоских фигур

спомощью определенного интеграла

8.1Вычисление площади в Декартовых координатах

Рассмотрим следующие возможные случаи.

1. f (x) определена и непрерывна на отрезке [a; b] и f (x) ≥ 0 для любого x [a ; b]. В этом случае, как мы установили раньше, определенный

интеграл ⌠ f (x) dx численно равен площади криволинейной трапеции

⌡

с основанием [a; b], ограниченной сверху графиком функции f (x) .

Таким образом, мы получили формулу для нахождения площадей плоских фигур следующего вида (рис. 5.2):

y = f (x)

O a

Рис. 5.2

b
⌠	(1)
S = f (x) dx .	(1)
⌡

2.Рассмотрим теперь фигуру, изображенную на рис. 5.3. Она представляет собой криволинейную трапецию с основанием [a; b] , ограничен-

ную снизу графиком функции f (x) . Таким образом, имеем f (x) , определенную и непрерывную на [a; b] и f (x) ≤ 0 для любого x [a ; b].

	y = − f (x)
	y = − f (x)
O a	S1	b
	S1
	S		x
			x

	y = f (x)
	y = f (x)

Рис. 5.3

Легко заметить, что площадь данной трапеции S будет равна площади S1 криволинейной трапеции с основанием [a; b], ограниченной сверху гра-

фиком функции y = − f (x) (т.к. эти трапеции симметричны относительно оси Ox ). Отсюда имеем:

S =

Пример 1.

b	b
⌠	⌠	(2)
	[− f (x)]dx = − f (x) dx .	(2)
⌡	⌡
a	a

Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y = x − x2 и осью

Ox .

Решение.		Найдем точки пересечения параболы с осью Ox :
	y = x − x2 ,		x2	− x = x(x −1) x0 = 0	или x1 =1.
		= 0,
	y
y				Имеем криволинейную	трапецию 1-го типа
1				(рис. 5.4):

		1			2
		⌠		x	2
			(x − x2 ) dx =	x
			(x − x2 ) dx =	2
		⌡		2
0		0
0	1	x

Рис. 5.4

−	x	3	1	=	1	−	1	=	1	(кв.ед.).


3			0		2		3		6

Пример 2.

Найти площадь фигуры, ограниченной линями: y = x − 2 , x = 0 , y = 0 .

							35
y			Решение. Имеем криволинейную трапе-
y		y = x − 2	цию 2-го типа (рис. 5.5):
		y = x − 2	цию 2-го типа (рис. 5.5):
				2	x2			2
				⌠	x2			2
O	2	x	S	= −	(x − 2) dx = −	− 2x		=
O	2	x	S	= −	(x − 2) dx = −	− 2x		=
				⌡	2			0
− 2				0
− 2				= −[2 − 4]= 2 (кв.ед.).

Рис. 5.5

Замечание. Все остальные плоские фигуры можно представить в виде различных комбинаций (объединений или дополнений) криволинейных трапеций вида 1 или 2.

Пример 3.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y = 2 − x , x = 0 , x = 3 , y = 0 .

Решение.

Искомая площадь равна (рис.5.6):

x = 3

S = S1 + S2 .

y = 2 − x

S =

⌠ (2 − x) dx = 2x

−

= 4 − 2 = 2 .

⌡

⌠

= − (2

− x) dx =

− 2x +

⌡

Рис. 5.6

+ 2) = −

2 =

−6 +

−(−4

Тогда S = 2 + 1

= 2,5 (кв.ед.).

Пример 4.

y = −x2 ,

Вычислить

площадь

фигуры,

ограниченной

линиями

x + y + 2 = 0 .

Решение.

Найдем

точки

пересечения

параболы

y = −x2

прямой

x + y + 2 = 0 :

= −x

x2 − x − 2 = 0, D =1+8 = 9,

x1,2 = 1±3 ,

x1 = −1, x2 = 2.

y = −x −

S = SBADC − SCBAOD (рис. 5.7).

--------------------------------------------------

y
B O	2	C	x
B O	2
A
A		D


− 4			y = −x − 2
− 4
y = −x2
y = −x2
Рис. 5.7

⌠

SBADC = − [−x − 2] dx =

⌡

−1

=[2 + 4] −[0,5 − 2] = 6 +1,5 = 7,5 .

= 8

SCBAOD = −⌠

− x2

= 3 .

⌡

−1

S = 7,5 −3 = 4,5 (кв.ед.).

3.Фигура представляет собой криволинейную трапецию с основанием [a ; b], ограниченную сверху кривой x = x(t) , y = y(t) , где x(t) , x′(t) ,

y(t) – непрерывные функции на [α ; β ] ( x(α) = a , x(β) = b ). В соответствии с п.1 имеем:

	b	′
	S = ⌠ f (x) dx =	′
	S = ⌠ f (x) dx =	x = x(t), dx = x (t)dt,
	⌡	y = y(t), a →α, b → β

β
⌠	′	(3)
= y(t) x (t) dt .		(3)
⌡

Получили формулу для вычисления площади криволинейной трапеции, когда кривая задана параметрическими уравнениями.

Пример 5.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией x = a cos3 t , y = a sin3 t ( a = const > 0 ).

Решение.	Анализ данной линии представлен в таблице 1. Искомая площадь
	y	изображена на рис. 5.8.
	y						Таблица 1
	a						Таблица 1

				0 → π	π →π	π → 3π	3π
							3π
			t				2 → 2π
− a	a	x		2	2	2
− a	a	x
	− a		x	a 0	0 − a	− a 0	0 a
	− a		y	0 a	a 0	0 − a	− a 0
			y	0 a	a 0	0 − a	− a 0

Рис. 5.8

dydx =

d 2 y dx2

yt′

a 3sin 2 t cos t

= −tg t = g(t) ;

a 3cos2 t (−sin t)

xt′

′

> 0,

если

0 < t < π,

= −

1 cos t

= gt

< 0,

если

π < t < 2π.

xt′

a 3cos2 t (−sin t)

3a cos4 t sin t

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2010 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
27.05.20193.56 Mб249КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. Ч1.pdf
#
27.05.20191.54 Mб177КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. Ч2.pdf
#
27.05.201920.05 Mб9031Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс.pdf