17

§ 5. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций

Рассмотрим некоторые классы тригонометрических функций, интегрирование которых сводится к интегрированию дробно-рациональных функций с помощью специальных подстановок.

Замечание. Этот же метод применим и в том случае, когда одно из чисел m или n нечетно и положительно, а другое – любое действительное число.

Пример 3.

Определение. Многочленом относительно двух переменных u и v

называется алгебраическая сумма произведений вида Aunvm , где n и m – целые неотрицательные числа (например, u2v − 2uv + u3v − v3u +1).

18

Частное от деления двух многочленов относительно u и v называется

u2 +1

рациональным выражением относительно u и v (например, u3 − v ).

Рациональным выражением относительно функций ϕ(x) и ψ(x) назы-

вается рациональное выражение относительно u и v , в которое вместо u подставлена ϕ(x) , вместо v – ψ(x) . Рациональное выражение относительно ϕ(x) и ψ(x) принято обозначать:

Всякий интеграл такого вида можно свести к интегралу от дробно-

рациональной функции с помощью универсальной тригонометрической подстановки

⌠2du

Следует заметить, что п.1 является частным случаем п.2. Однако решение с помощью универсальной тригонометрической подстановки во многих случаях получается довольно громоздким. Рассмотрим еще два частных слу-

19

чая п.2, когда при нахождении неопределенного интеграла рекомендуется использовать специальную подстановку, отличную от универсальной тригонометрической.

⌠

3. R(tg x) dx .

⌡

Замена u = tg x .

4.⌠ R(sin2m x, cos2n x) dx .

⌡

§ 6. Интегрирование некоторых классов иррациональных функций

Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррациональные выражения.

⌡

Данный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции с помощью подстановки:

21

3.⌠ R (x, Ax2 + Bx +C )dx .

⌡

Заметим, что п.2 является частным случаем п.3.

После замены переменной t = 12 (Ax2 + Bx +C)′ данный интеграл, в за-

висимости от значений A , B и C сводится к одному из следующих интегралов:

I.⌠ R (t, a2 −t 2 )dt ;

⌡

II.⌠ R (t, a2 +t 2 )dt ;

⌡

III.⌠ R (t, t 2 − a2 )dt .

⌡

Эти интегралы находятся с помощью следующих подстановок:

22

4. Интегрирование дифференциальных биномов

Определение. Дифференциальным биномом называется выражение

вида

xm (a +bxn )p dx ,

где m , n , p – рациональные числа.

Теорема. Интегралы от дифференциальных биномов выражаются через элементарные функции только в трех случаях:

1)p – целое число; тогда интеграл сводится к интегралу от рациональной

дроби с помощью подстановки

x= t N , где N = HOK(m, n) ;

2)m +1 – целое число; к той же цели ведет подстановка n

a +bxn = t s , где s – знаменатель дроби p ;

3) mn+1 + p – целое число; интеграл рационализируется с помощью под-

становки

ax−n +b = t s , где s – знаменатель дроби p .

Пример 4.