- •ВВЕДЕНИЕ
- •Глава IV НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- •§ 1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Теорема существования
- •1.1 Понятие первообразной и неопределенного интеграла
- •1.2 Таблица основных интегралов
- •1.3 Основные свойства неопределенного интеграла
- •1.4 Геометрический смысл неопределенного интеграла
- •§ 2. Основные методы интегрирования
- •2.1 Интегрирование методом разложения
- •2.2 Интегрирование методом замены переменной
- •2.3 Интегрирование по частям
- •§ 3. Интегрирование простейших рациональных дробей
- •§ 4. Интегрирование дробно-рациональных функций
- •Интегрирование правильных рациональных дробей. Метод неопределенных коэффициентов
- •§ 5. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций
- •§ 6. Интегрирование некоторых классов иррациональных функций
- •§ 7. Понятие об интегралах, не берущихся в элементарных функциях
- •Глава V ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- •§ 1. Задача о площади криволинейной трапеции
- •§ 2. Понятие определенного интеграла
- •§ 3. Свойства определенного интеграла
- •§ 4. Определенный интеграл с переменным верхним пределом интегрирования
- •§ 5. Формула Ньютона-Лейбница
- •§ 6. Замена переменной в определенном интеграле
- •§ 7. Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •8.1 Вычисление площади в Декартовых координатах
- •8.2 Вычисление площади в полярных координатах
- •§ 9. Длина дуги плоской кривой
- •9.1 Вычисление длины дуги в Декартовых координатах
- •9.2 Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями
- •9.3 Вычисление длины дуги кривой в полярной системе координат
- •§ 10. Объем тела
- •Глава VI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
- •§ 1. Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения
- •§ 3. Уравнения с разделяющимися переменными
- •§ 4. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •§ 5. Линейные уравнения 1-го порядка
- •§ 6. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •6.1 Дифференциальные уравнения второго порядка
- •6.2 Дифференциальные уравнения высших порядков
- •6.3 Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
- •§ 7. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
- •7.1 Линейные уравнения второго порядка. Общие свойства
- •7.1.1 Линейные уравнения без правой части
- •7.1.2 Линейные уравнения с правой частью
- •7.4 Метод вариации произвольных постоянных
- •7.5 Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
- •§ 8. Системы дифференциальных уравнений
- •8.1 Общие определения. Нормальные системы уравнений
- •ПРИЛОЖЕНИЕ
- •Список рекомендуемой литературы
39
Искомая площадь равна S = Sкр − Sсек .
|
|
|
π 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
π 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 3 |
|
|
π 3 |
||||
Sкр = |
1 |
⌠ |
ρ |
2 |
dϕ |
= |
⌠ |
2 cos |
2 |
ϕ dϕ = |
|
⌠ |
|
|
sin 2ϕ |
||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
[1+ cos 2ϕ]dϕ = ϕ + |
|
= |
|||||||||||||||||||||||
|
⌡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
⌡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
⌡ |
|
|
2 |
−π 3 |
|||||
|
|
|
−π 3 |
|
|
|
|
|
−π 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−π 3 |
|
|
|
||||||||||||
π |
|
|
|
|
3 |
|
π |
|
|
|
|
3 |
|
2π |
|
|
|
|
3 |
. |
|
|
|||||||||||
= |
|
+ |
|
|
|
|
|
− − |
|
|
|
− |
|
|
|
|
= |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
|
4 |
3 |
|
|
4 |
|
3 |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Sсек = |
|
1 r 2ϕ = |
1 |
1 |
2π |
|
= |
π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда |
|
S = |
|
2π |
|
+ |
|
3 |
− |
|
π |
= |
π |
+ |
|
3 |
|
(кв.ед.). |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
3 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§9. Длина дуги плоской кривой
9.1Вычисление длины дуги в Декартовых координатах
Теорема. Пусть кривая AB задана уравнением y = f (x) , где f (x) – непрерывная функция, имеющая непрерывную на [a ; b] производную. Тогда
дуга AB имеет длину, равную
b |
|
|
|
⌠ |
′ |
2 |
(1) |
|
|||
l = 1+[f (x)] dx . |
|||
⌡ |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Разобьем дугу AB точками M1, M 2 , …, M n−1 на n частей.
Обозначим абсциссы этих точек через x1 , x2 , …, xn−1 . Имеем
|
|
|
|
|
x0 = a < x1 < x2 < ... < xn−1 < xn |
= b . |
|
|
|
|||||||||
Построим ломаную A M1 M 2 ...M n−1 B . Длина ломаной будет равна |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L = ∑ L1 , где |
Li – длина i -го звена M i−1M i . |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L = (x |
i |
− x |
i−1 |
)2 + ( y |
i |
− y |
i−1 |
)2 = (x |
i |
− x |
i−1 |
)2 + ( f (x |
) − f (x |
i−1 |
))2 . |
|||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|||||||
По теореме Лагранжа: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f (xi ) − f (xi−1 ) = f ′(ci ) (xi |
− xi−1 ) , |
где xi−1 < ci < xi . |
|
|
||||||||||||||
Обозначим |
xi |
|
= xi − xi−1 . Тогда имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Li = |
xi2 +[f ′(ci ) xi ]2 = 1+[f ′(ci )]2 xi . |
|
|
|
|
Отсюда длина ломаной L будет равна
|
|
|
|
|
40 |
n |
+[f ′(ci )]2 |
|
|
||
L = ∑ 1 |
xi . |
(2) |
|||
i=1 |
|
|
|
|
|
Правая часть соотношения (2) является интегральной суммой непре- |
|||||
рывной на [a ; b] функции 1+[f |
′ |
2 |
|
≈ L . |
Приближение будет тем |
|
|||||
(x)] . AB |
|||||
|
|
|
|
|
|
точнее, чем меньше шаг разбиения. Отсюда длина дуги AB будет равна пре- |
делу интегральных сумм (2) при условии, что шаг разбиения стремится к 0,
т.е.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi = ⌠ 1+[f ′(x)]2 dx , |
|
λ = max{ x1 , ..., |
xn }. |
|||||||||||||||||||
|
|
AB |
= lim |
∑ 1+[f ′(ci )]2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
λ→0 i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
⌡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Пример 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Найти длину дуги кривой y2 = x3 2 от x = 0 до x =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Решение. |
График данной кривой имеет вид (рис. 5.11). Тогда искомая длина |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
L = 2L1 , |
где L1 – длина верхней ветви данной полукубической параболы, ко- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
торая задается уравнением y = x3 2 |
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
⌠ |
|
′ |
2 |
|
|
|
|
x |
3 2 |
|
|
′ |
|
|
3 |
|
|
1 2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L1 |
= |
|
1+[f (x)] |
|
dx = |
y = |
|
|
, |
y |
|
= |
|
|
|
x |
|
= |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
⌡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ⌠ |
1+ 9 x dx = |
|
1+ 8 x = u, |
dx |
= |
9 du |
|
|
|
17 |
|
= |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
Рис. 5.11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
⌡ |
|
8 |
|
|
|
x = 0 u =1, |
x =1 u = |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
17 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 8 |
|
|
17 |
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= |
8 |
|
⌠ |
1 2 |
du = |
8 |
u |
3 2 |
|
2 |
= |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
9 |
|
u |
|
9 |
|
3 |
|
|
|
27 |
|
|
−1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
⌡ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
L |
= 2L |
|
|
32 |
|
17 |
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
= |
|
|
|
−1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.2 Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями
Пусть кривая AB задана параметрическими уравнениями:
x = x(t), |
α ≤ t ≤ β . |
|
|
y = y(t), |
|
41
Функции x(t) , y(t) , |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
> 0 на [α; β ] . |
|
|
|||||||||||||||||
|
x |
(t) , |
y (t) |
непрерывны и x |
(t) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Имеем: |
|
dy |
|
yt′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f (x) = dx |
= |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
xt′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
′ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yt′ |
|
2 |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
′ |
|
2 |
dt ; |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1+[f (x)] dx |
= 1+ |
x (t) dt = |
|
|
|
|
[x (t)] |
|
+[y (t)] |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xt′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
⌠ |
|
|
|
|
|
|
′ |
2 |
|
|
|
|
⌠ |
|
|
|
|
′ |
|
2 |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
AB = |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
dt . |
|
|
|
(2) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1+[f (x)] |
[x (t)] |
|
|
[y (t)] |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
⌡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
⌡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = t3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вычислить длину дуги кривой |
|
|
|
−t , |
|
y = t 2 + 2 |
от t = 0 до t = 3 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
⌠ |
[x |
′ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
′ |
2 |
|
|
|
⌠ |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. |
|
L = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
(t |
−1) |
|
+ |
|
4t |
dt = |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
(t)] |
|
+[y (t)] dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
⌡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
⌡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
⌠ |
t |
4 |
+ 2t |
2 |
|
|
|
|
|
|
⌠ |
(t |
2 |
+1) dt |
|
|
|
|
|
|
|
= 9 +3 =12 . |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
+1 dt = |
|
|
= |
3 |
+t |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
⌡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
⌡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.3 Вычисление длины дуги кривой в полярной системе координат |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть кривая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
задана |
|
уравнением |
|
|
в |
|
полярных |
координатах |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ρ = ρ(ϕ) , |
α ≤ ϕ ≤ β , причем ρ(ϕ) и ρ |
′ |
|
|
|
|
– непрерывные на [α; β ] функ- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(ϕ) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
= ρ cosϕ, |
|
|
|
|
|
|
(ϕ взяли за параметр); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
= ρ sin |
ϕ, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
xϕ′ |
= ρ′ cosϕ − ρ sin ϕ ; |
|
yϕ′ |
|
|
= ρ′ sin ϕ + ρ cosϕ ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
′ |
2 |
′ |
2 |
|
ρ |
′ |
2 |
cos |
2 |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ρ |
2 |
sin |
2 |
ϕ |
+ ρ |
′2 |
sin |
2 |
ϕ + |
||||||||||||||
[xϕ ] |
+[yϕ ] = |
|
|
|
|
ϕ − 2ρ ρ sin ϕ cosϕ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
cos |
2 |
|
ϕ = ρ |
′2 |
+ |
|
ρ . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Тогда |
+ 2ρ ρ sinϕ cosϕ + ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[x′ ]2 |
+[y′ |
]2 |
|
dϕ = |
⌠ |
ρ2 + ρ′2 |
|
dϕ . |
|
|
|
(3) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
AB = ⌠ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
⌡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
⌡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|