3.2. Темп росту коштів за правилом складних відсотків

Аналізуючи залежність (3.1), що описує правило наро­щення коштів за правилом складних процентів, варто зазначити, що, на відміну від правила простих процентів, зміна параметру часу п та параметру дохідності r по різному впливатиме на темп росту майбутньої вартості.

Так, якщо у виразі (3.1) час фінансової угоди збільшити в к ра­зів, то темп росту майбутньої вартості складатиме:

(3.8)

Проте, коли ставку дохідності збільшити в к разів, то темп росту майбутньої вартості становитиме:

(3.9)

Зазначимо, що темп росту майбутньої вартості не залежить від початкової вартості, що підтверджують й отримані вирази (3.8) та(3.9).

Тепер розглянемо іншу задачу щодо темпу зростання вартості за правилом складних процентів. Нехай за формулою (3.1) необхідно отримати N-кратне перевищення майбутньої вартості над її теперішньою величиною.

Для того, щоб початкова сума збільшилась в N разів, потрібно виконати умову: , звідки:

(3.10)

Аналогічно отримаємо:

(3.11)

Зазначимо, що розрахунки за формулою (3.10) передбачають використання комп'ютерних програм або спеціальних калькуля­торів, які дозволяють обчислювати логарифми. У разі необхідно­сті виконання швидких обчислень за відсутності спеціальних за­собів, іноді застосовують наближені методи обчислень.

Наприклад існує так зване „правило 72-х”, проте воно є справед­ливим лише для невеликих (до 10 %) ставок відсотка.

Правило 72-х: Подвоєння капіталу за ставкою а за складни­ми процентами відбувається приблизно за 72/ а років.

Графічну інтерпретацію нарощування коштів за правилом склад­них процентів показано на рис. 3.1.

F V FV_n

PV- початкова сума;

IC n – час;

FV -кінцева сума;

P V ІС- розмір процента

n t

Рис. 3.1. Графік зростання вартості за правилом складних процентів

Із наведеного графіка видно, що нарощування вартості в часі за складними процентами є показниковою функцією.

3.3. Обчислення за правилом складних відсотків в умовах змін вихідних параметрів

За правилом складних процентів вартісні характерис­тики фінансової угоди (кінцева та початкова вартість коштів) без­посередньо залежатимуть від строку (кількості періодів) та нор­ми дохідності фінансової операції. Проаналізуємо чутливість вар­тісних характеристик угоди до змін параметрів часу та дохідності.

Класична формула нарощування складних процентів (3.1) пе­редбачає, що протягом усіх періодів п ставка дохідності r є ста­лою величиною.

Однак в реальних економічних умовах, ринкові ставки дохід­ності весь час змінюються, отже, у довгострокових фінансових угодах фіксувати ставку нарощування (або дисконтування) на весь термін угоди на визначеному початковому рівні не завжди доцільно. У разі плаваючих (змінних) ставок дохідності, зазвичай весь строк угоди розбивають на періоди, протягом яких ставка є незмінною.

Таким чином, коли впродовж терміну угоди ставки дохідності змінюються в часі, але в певні терміни, то нарощену за складни­ми процентами суму визначають за формулою:

(3.12)

де Т— загальна кількість періодів нарощування; r — ставка до­хідності у періоді t; п, — тривалість t періоду, у якому ставка до­хідності не змінюється.

Для визначення середньої ставки дохідності складних про­центів r за повний строк дії фінансової угоди N необхідно роз­в'язати відносно r таке рівняння:

звідси

(3.13)

Отже, множник нарощування за середньою ставкою складних процентів визначають за формулою зваженої середньої геометричної величини.

Окрім плаваючої ставки дохідності, іншим змінним вихідним параметром фінансової операції є загальна кількість періодів на­рощування чи дисконтування. У практиці фінансових розрахун­ків часто трапляються ситуації, коли за фіксованого загального строку угоди п змінюється кількість періодів нарахувань коштів. Наприклад, за банківським депозитом вказується річна ставка складних процентів r, а нарахування здійснюють щомісяця чи щокварталу тощо.

Отже, у деяких фінансових угодах капіталізація (нарахування) процентів відбувається т разів однаковими частками через одна­кові проміжки часу протягом кожного періоду часу t(t=1,…,n).

В такому разі класична формула (3.1) для обчислення майбут­ньої вартості за правилом складних процентів, набуде вигляду:

(3.14)

де п — загальний строк угоди (кількість років чи інших періодів часу); т — кількість нарахувань процентів протягом одного пе­ріоду часу.

Зазначимо, що коли т = 1 (тобто загальна кількість нараху­вань процентів співпадає з загальною кількістю періодів), то ви­раз (3.14) повністю співпадатиме з виразом (3.1). Отже, класичну формулу нарощування складних процентів можна вважати част­ковим випадком рівняння (3.14).

Приклад 3.3.

Вкладник поклав на депозит у банк 1 тис. грн. під 16 % річних. Умовами угоди передбачено, що на цю суму банк нараховує складні проценти щокварталу. Треба знайти суму, що акумулю­ється на депозитному рахунку через рік.

Рішення.

За формулою (3.14) маємо:

Тобто, фактична річна дохідність банківського депозиту, зав­дяки щоквартальному нарахуванню коштів, становить близько 17 %. Якщо б нарахування за річною ставкою в 16 % відбулося лише один раз на рік, то на депозитному рахунку була б менша сума— 1,16 тис. грн.

Таким чином, коли виплати здійснюють за правилом складних процентів кілька разів на рік, то фактична річна дохідність фінан­сової угоди більша від задекларованої річної дохідності за раху­нок реінвестування коштів.

Зазначимо, що за правилом простих процентів фактична до­хідність угоди завжди співпадатиме із задекларованою дохідніс­тю, оскільки проценти нараховують лише на початкову суму (не реінвестуються), отже нарощена величина не залежатиме від кіль­кості нарахувань протягом одного періоду часу.