5.5. Річна рента з платежами в середині періодів

Аналіз фінансових потоків у різних сферах діяльності може суттєво різнитися. Так, орендні, податкові та митні платежі часто здійснюють на початку відповідного періоду, тому вони являють собою авансову ренту. Відсотки за депозитами та креди­тами, дивіденди за акціями зазвичай нараховують наприкінці пе­ріоду, тому вони є звичайною рентою. Однак, у цілому, рентні платежі можуть надходити в будь-які моменти часу, а не лише на початку чи в кінці періоду.

Наприклад, аналізуючи не фінансові, а виробничі інвестиції, мож­на побачити, що, за відсутності фактору сезонності, надходження і вилучення коштів на виробництві відбуваються майже рівномірно (а іноді — навіть постійно) протягом відповідного періоду (року, кварталу, місяця тощо). В такому разі доцільним є застосування рент з платежами, які здійснюють у середині періодів, оскільки обчислення саме за такою рентою дасть точніший результат.

Розглянемо основні вартісні характеристики ренти з платежа­ми, які здійснюють в середині періодів.

Постійну скінчену річну ренту з платежами в середині пері­одів з параметрами {R,п,r} з погляду розташування платежів у часі графічно відображено на рис. 5.5.

Рис. 5.5. Постійна скінчена річна рента з платежами в середині періодів

На рис. 5.5 показано, що розмір періодичних платежів R = соnst, платежі в початковий (нульовий) та в останній (n-ний) момент часу не здійснюють, платежі надходять в середині відповідних періодів.

Порівнявши графіки виплат, наведені на рис. 5.1, 5.4 та 5.5, можна зробити висновки, що фактично виплату для рент з пла­тежами в середині періодів здійснюють на півперіоду раніше, ніж для звичайних рент та на півперіоду пізніше, ніж для авансо­вих рент.

Отже, за аналогією з рівнянням (5.11) для ренти з платежами в середині періодів можна записати таку формулу:

(5.17)

де S_1/2 — нарощена сума ренти з платежами в середині періодів, S_post— нарощена сума ренти постнумерандо.

Рівняння (5.17) дозволяє визначити майбутню вартість ануїте­ту з платежами в середині періодів за відомої майбутньої вартості звичайного ануїтету.

Для визначення теперішньої вартості ануїтету з платежами в се­редині періодів, за відомої теперішньої вартості звичайного ануїте­ту, за аналогією з (5.15), можна записати співвідношення (5.18):

(5.18)

Таким чином, для обчислення початкової та кінцевої вартості скінченої ренти з платежами в середині періодів, спочатку зазви­чай обчислюють вартісні характеристики для ідентичної ренти постнумерандо, а потім перемножують відповідні вартісні харак­теристики ренти постнумерандо на множник нарощування за по­ловину періоду.

Для оцінювання вартісних характеристик одразу для ренти з платежами в середині періодів необхідно скористатися формулою:

(5.19)

Рівняння (5.19) дозволяє визначити майбутню вартість ануїте­ту з платежами в середині періодів. Для оцінювання його теперіш­ньої вартості запишемо рівняння (5.20):

(5.20)