- •Київський національний економічний університет
- •Фінансові розрахунки
- •Тема 1 Концептуальні засади фінансових розрахунків
- •1.1 Час як фактор вартості
- •1.2. Відсотки, види відсоткових ставок
- •1.3. Операції нарощення та дисконтування
- •Методи нарощення та дисконтування
- •Дисконтні множники
- •Множники нарощення
- •Тема 2 Прості відсотки
- •2.1. Методика обчислень за правилом простих відсотків
- •2.2. Річна процентна ставка та річна дисконтна ставка
- •2.3. Алгоритм схеми простих відсотків із застосуванням річної процентної та дисконтної ставок
- •2.4.Розрахунки відсотків при сумі внеску на рахунку, що змінюється
- •2.5. Нарощення за схемою простих відсотків при змінній ставці
- •2.6. Визначення строку позички та величини ставки
- •2.7. Обчислення середніх значень (для самостійного опрацювання)
- •2.8. Конверсія валюти та нарощування відсотків
- •Тема 3 складні відсотки
- •3.1. Методика обчислень за правилом складних відсотків
- •3.2. Темп росту коштів за правилом складних відсотків
- •3.3. Обчислення за правилом складних відсотків в умовах змін вихідних параметрів
- •3.4. Номінальна та ефективна ставка складних процентів. Поняття неперервного складного проценту та сили росту
- •3.5. Криві прибутковості
- •3.6. Конверсія валюти й нарощення складних відсотків
- •Тема 4 фінансова еквівалентність
- •4.1. Поняття фінансової еквівалентності
- •4.2. Основні рівняння еквівалентності
- •4.2.1. Еквівалентність множників нарощування простих та складних процентів
- •4.2.2. Еквівалентність множників утримання простих та складних процентів
- •4.2.3. Еквівалентність множників утримання та дисконтування для простих процентів
- •4.2.4. Еквівалентність множників утримання та дисконтування для складних процентів
- •4.2.5. Еквівалентність множників нарощування складних процентів за номінальними та ефективними ставками дохідності
- •4.3. Визначення еквівалентної ставки дохідності фінансової операції при утриманні комісійних
- •Тема 5 фінансові розрахунки для потоків платежів
- •5.1. Основні відомості про потоки платежів
- •5.2. Основні поняття та класифікація фінансових рент
- •5.3. Річна рента постнумерандо (звичайний ануїтет)
- •5.4. Річна рента пренумерандо (авансовий ануїтет)
- •5.5. Річна рента з платежами в середині періодів
- •. Інші види фінансових рент
- •Тема 6 оцінка та планування схем фінансово-кредитних розрахунків
- •6.1. Застосування теорії рент у плануванні схем фінансово-кредитних розрахунків
- •6.2. Поняття лізингу та методи розрахунку лізингових платежів
- •6.2.1. Механізм розрахунку лізингових платежів
- •6.2.2. Методика розрахунку лізингових платежів з амортизацією боргу рівними частинами
- •6.2.3. Методика розрахунку лізингових платежів, заснована на теорії фінансових рент
- •6.2.4. Коригування залишкової вартості майна на авансовий платіж
- •6.2.5. Коригування вартості майна на величину залишкової вартості
- •6.2.6. Виплати лізингових платежів на початку періоду
- •6.3. Споживчі кредити та аналіз схем споживчого кредитування
- •6.4. Поняття іпотеки та розрахунки за іпотечними позиками
- •6.5. Фонди нагромадження та погашення боргу
5.3. Річна рента постнумерандо (звичайний ануїтет)
Річна рента постнумерандо або, іншими словами, звичайний ануїтет передбачає, що всі додатні, періодичні платежі цього грошового потоку здійснюють наприкінці року. Досить часто при цьому, ще й розміри періодичних платежів є однаковими (рівними), тобто рента є постійною.
Фінансові розрахунки за постійними платежами постнумерандо застосовують у більшості лізингових угод, схемах споживчого кредитування, купонних виплатах за облігаціями тощо. Можна стверджувати, що саме такий вид фінансових рент є найбільш розповсюдженим у практиці фінансово-кредитних операцій.
Постійну скінчену річну ренту постнумерандо з параметрами {R,n,r} з погляду розташування платежів у часі графічно відображено на рис. 5.1.
Рис. 5.1. Постійна скінчена річна рента постнумерандо
На рис. 5.1 показано, що розмір періодичних платежів R = соnst, платіж у початковий (нульовий) момент часу не здійснюють, платежі надходять наприкінці періодів з 1-го по останній (n-ний).
Для того, щоб знайти нарощену величину такої ренти, необхідно всі періодичні платежі привести (наростити) до останнього періоду часу з урахуванням ставки r. Ілюструє операцію нарощування постійної скінченої річної ренти постнумерандо рис. 5.2.
Відповідно до наведеної на рис. 5.2 схеми, нарощена сума п членів звичайного ануїтету становитиме:
(5.3)
Числова послідовність є геометричною прогресією з першим членом, що дорівнює R та темпом росту (1+r). Скориставшись формулою суми геометричної прогресії вираз (5.3) можна спростити так:
(5.4)
Величину ((1+r)n -1)/r, яка входить до складу рівняння (5.4), називають множником нарощування звичайного ануїтету (Future Value Interest Factor Annuities, FVIFA).
Рис. 5.3. Дисконтування звичайного ануїтету у часі
Відповідно до наведеної на рис. 5.3 схеми, приведена (дисконтована) сума п членів звичайного ануїтету становитиме:
(5.5)
Отримане рівняння взаємозв'язку (5.5) між теперішньою та кінцевою величинами звичайного ануїтету повністю відповідає загальній властивості грошових потоків (5.2).
Підставивши вираз (5.4) у рівняння (5.5), отримаємо:
(5.6)
Величину (1-(1+r)-n/r, яка входить до складу рівняння (5.6), називають множником дисконтування звичайного ануїтету (Present Value Interest Annuities, PVIFA).
Для підвищення ефективності розрахунків в умовах відсутності засобів обчислювальної техніки, для множників нарощування та дисконтування звичайних ануїтетів існують спеціальні довідкові фінансові таблиці.
Таким чином, користуючись рівняннями (5.4) і (5.6'), знаючи три параметри: розмір щорічного платежу R, кількість років п та ставку дохідності r, завжди можна знайти теперішню та майбутню величини звичайного ануїтету.
При плануванні схем погашення боргу, часто розв'язують обернену задачу — за відомої теперішньої або майбутньої величини боргу та необхідної ставки дохідності, оцінюють розмір щорічного платежу за кредитом, залежно від строку кредиту.
Розв'яжемо рівняння (5.4) і (5.6) відносно величини щорічного платежу R..
За відомої кінцевої величини звичайного ануїтету маємо:
(5.7)
Відповідно, за відомої початкової величини звичайного ануїтету отримаємо:
(5.8)
Отримані вирази (5.7) та (5.8) дозволяють оцінити необхідну величину щорічного платежу за кредитною угодою та дозволяють її коригувати залежно від строку, суми боргу, ставки по кредиту тощо.
Навівши основні рівняння щодо вартісних характеристик звичайного ануїтету, для кращого розуміння сутності ануїтет них платежів, розглянемо як відбувається нарощення ануїтету по роках.
Приклад.
Маємо звичайний ануїтет з такими параметрами: строк ренти n=5 років, річний платіж R=1000 грн., ставка дисконтування r=10%. Знайти нарощені суми наприкінці кожного року.
Рішення.
Насправді механізм нарахування ренти простий. До суми, що була на рахунку на початок періоду, додається річний платіж. У результаті отримуємо суму на кінець періоду. Потім на останню нараховуємо складний процент. Отримана величина – це сума на початок наступного періоду. Далі цикл повторюється до закінчення строку ренти.
Розрахунки наведено нижче в таблиці.
Періоди (роки) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Сума на початок періоду, грн. |
0 |
1100 |
2310 |
3641 |
5105,1 |
Річні платежі , грн. |
1000 |
1000 |
1000 |
1000 |
1000 |
Сума на кінець періоду, грн. |
1000 |
2100 |
3310 |
4641 |
6105,1 |
Отже, нарощена сума становить 6105,1 грн., а теперішня величина ренти за формулою (5.5) дорівнює 6105,1/1,15=3791 грн.
Нескінчена рента постнумерандо (перпетуїтет)
Розглядаючи ренти постнумерандо, необхідно окремо зупинитися на так званій „вічній” (нескінченій) ренті.
Нескінчена рента (перпетуїтет) — це рента, послідовність платежів за якою нескінчена, тобто вважається, що така рента буде виплачуватися необмежено довго.
Аналіз часткового випадку рівнянь (5.4) та (5.6) за умов, що п →∞, дає змогу зробити висновки стосовно вартісних характеристик перпетуїтету.
Нарощена величина S нескінченої ренти теж прямує до нескінченості, а теперішню величину нескінченої ренти знаходять з рівняння (5.9):
(5.9)
З виразу (5.9) видно, що теперішня вартість нескінченої ренти залежить лише від розміру щорічного платежу та річної ставки дохідності. Причому припускається, що ринкова дохідність r з плином часу залишається незмінною.
Приклад 5.1.
Компанія орендує приміщення за 60 тис. грн. на рік. Чому дорівнює викупна ціна оренди, якщо річна ставка ринкової дохідності складає 15 %?
Рішення.
Викупна ціна — це теперішня величина всіх майбутніх орендних платежів.
За формулою (5.9) вона дорівнює:
А = 60 / 0,15 = 400 тис. грн.
Неважко побачити, що при збільшенні річної ставки до 20 % викупна ціна становитиме лише 300 тис. грн., тобто номінальну (недисконтовану) суму п'ятирічних орендних платежів.
Зазначимо, що згідно виразу (5.9), при збільшенні ринкової норми дохідності теперішня вартість нескінченої ренти буде зменшуватися, тобто строк окупності капіталовкладень буде коротший.