2.6. Визначення строку позички та величини ставки

У практичних фінансових обчисленнях часто вирішуються такі завдання:

а) дані ; визначити період надання позички :

; (2.24)

б) дані ; визначити ставки:

. (2.25)

Для того, щоб початкова сума зросла в N-разів, потрібно виконати умову:

Звідки,

2.7. Обчислення середніх значень (для самостійного опрацювання)

Видаючи багато кредитів з різними параметрами, кредитор бажає знати середні значення ставок, періодів надання кредиту. Ці параметри є статистичними значеннями, що обчислюються за сукупністю конкретних фінансових угод.

Нехай , , сукупність боргів з декурсивними відсотками, а середній час надання сукупної позички , середня процентна ставка.

Для обчислення середніх значень потрібно врахувати інтереси кредиторів і позичальників. З цією метою складаються фінансові співвідношення, що мають зміст рівнянь і називаються фінансовими еквівалентами. У цьому випадку складається фінансовий еквівалент:

(2.26)

або

. (2.27)

Оскільки , те одержуємо рівність для відсотків

, (2.28)

з якого виходить, що

. (2.29)

Якщо ввести зважену середню арифметичну процентну ставку

, (2.30)

то середній час надання позички складе

. (2.31)

Формула (2.31) визначає середній час надання позички у вигляді зваженої середньої арифметичної визначених періодів.

Якщо ввести зважену середню арифметичну процентну ставку

, (2.32)

то середній час надання позички складе

. (2.33)

Нехай тепер , , борги з антисипативними (відразу утримуваними) відсотками, тобто сума до видачі становить

. (2.34)

Нехай клієнт прагне одержати позичку на строк під середню дисконтну ставку . У цьому випадку фінансовий еквівалент

(2.35)

або за умови одержимо, що

. (2.36)

Якщо припустити, що середнє значення облікової ставки

, (2.37)

те середнє значення строку надання позички

. (2.38)

Якщо тепер припустити, що

, (2.39)

то

. (2.40)

2.8. Конверсія валюти та нарощування відсотків

Розглянуті вище методи нарощення відсотків дозволяють перейти до вивчення більш складних і важливих у практичному відношенні завдань. Зупинимося на одному з них. Мова йде про поєднання конверсії (обміну) валюти та нарощенні простих відсотків.

При можливості обміну гривні на ВКВ і навпаки доцільно зрівняти результати від безпосереднього розміщення наявних коштів у депозити або опосередковано через іншу валюту. Таким чином, виділяють чотири варіанти для нарощення відсотків:

1. без конверсії: ВКВ→ВКВ;

2. з конверсією: ВКВ → Грн. → Грн. →ВКВ;

3. без конверсії: Грн. → Грн.;

4. з конверсією: Грн. →ВКВ → ВКВ → Грн.

В операції нарощення з конверсією валют існує два джерела доходу: зміна курсу та нарощення відсотка, причому якщо другий з них безумовний (ставка відсотка фіксована), то цього не можна сказати відносно першого. Більше того, подвійне конвертування валюти може бути й збитковим.

Розглянемо існуючі варіанти детальніше.

Варіант ВКВ → Грн. → Грн. →ВКВ.

Для запису формул введемо наступні позначення:

Pv — сума депозиту у ВКВ;

Р_r — сума депозиту в грн.;

Sv — нарощена сума у ВКВ;

Sr — нарощена сума в грн.;

K₀— курс обміну на початку операції (курс ВКВ у грн.);

K₁— курс обміну наприкінці операції;

п — строк депозиту;

i — ставка нарощення для суми в гривнях;

j — ставка нарощення для конкретного виду ВКВ.

Операція припускає три кроки: обмін валюти на гривні, нарощення відсотків на цю суму й, нарешті, конвертування у вихідну валюту. Кінцева (нарощена) сума у валюті визначається як:

(2.41)

Три співмножники цієї формули відповідають згаданим трьом крокам. Множник нарощення з урахуванням подвійного конвертування розраховується як:

(2.42)

Продовжимо аналіз і поставимо перед собою нове завдання — виміряємо прибутковість операції в цілому. У якості вимірника приймемо просту ставку відсотків і_е. Нехай ця ставка характеризує збільшення суми Pv до Sv. Для її розрахунків скористаємося наступною формулою:

(2.43)

Підставимо в цю формулу значення Sv, отримане за формулою (41). Після нескладних перетворень цієї формули одержимо:

(2.44)

Отримане вираження дозволяє зробити ряд висновків. Попередньо введемо величину, що характеризує співвідношення курсів валюти:

(2.45)

Зі збільшенням к ефективність падає. При к=1 і_е=і, при к>1 і_є<і, нарешті, при к<1 маємо і_є>і.

Знайдемо тепер критичне значення к (позначимо його як к*), при якому і_е=0. З формули (44) виходить: к* = ni, що у свою чергу означає:

(2.46)

Якщо очікувані величини к або К₁ перевищують свої критичні значення, то операція є збитковою.

Оскільки в момент укладення контракту величина К₁ є невідомою, то, доцільно визначити максимально припустиме її значення, при якому ефективність буде дорівнювати існуючій ставці за депозитами у ВКВ і застосування подвійного конвертування не дасть ніякої додаткової вигоди. З рівності множників нарощення

(2.47)

виходить

(2.48)

Вариант Грн. →ВКВ → ВКВ → Грн.

У цьому варіанті трьом крокам операції відповідають три співмножники наступної формули:

(2.49)

Як і в попередньому варіанті, множник нарощення лінійно залежить від ставки, але тепер ставки відсотка за ВКВ. Очевидно, що залежність множника від кінцевого курсу або його темпу росту також лінійна.

Перейдемо до аналізу ефективності даної операції та визначенню критичних точок. Дохідність операції визначається як:

(2.50)

Звідси

(2.51)

Залежність показника ефективності к лінійна. При к=1 і_е=j; при к>1 і_е>j та при к<1 і_е<j.

Критичне значення к*, при якому і_е =0 дорівнює:

(2.52)