3.4. Номінальна та ефективна ставка складних процентів. Поняття неперервного складного проценту та сили росту

У фінансових обчисленнях за правилом складних про­центів, для врахування ефекту реінвестування, у випадках, коли протягом одного періоду часу відбувається декілька нарахувань процентів, вводять поняття ефективної та номінальної ставки до­хідності.

Ставку складних процентів r, що входить у рівняння (3.1) та (3.14) називають номінальною ставкою. Так у прикладі 3.3 заде­кларована ставка 16 % є номінальною ставкою, а отримана фак­тична дохідність 17% є ефективною ставкою.

Ефективна ставка r_е визначає, яку річну ставку складних про­центів належить встановити, щоб отримати такий самий фінансо­вий результат, як і за m-разового нарахування процентів за рік за ставкою r/т.

Отже, за однакових початкових та кінцевих сум, для визна­чення залежностей між номінальною та ефективною ставками складних процентів, прирівнявши відповідні множники нарощу­вання, можна записати такий вираз:

звідси ефективна ставка складних процентів:

(3.15)

Зауважимо, що коли т > 1, то ефективна ставка більша за но­мінальну, причому, чим більша величина т (чим частіше нараховують проценти) тим вищою є ефективна ставка дохідності, отже, й тим швидше відбувається процес нарощування.

Якщо при нарощуванні коштів за формулою (3.14) часовий ін­тервал між виплатами процентів наближається до нуля, тобто проценти виплачують та реінвестують безперервно, то можна об­числити граничне значення ефективної ставки дохідності за ві­домої номінальної ставки дохідності.

З метою таких обчислень вводять поняття неперервного склад­ного проценту.

Неперервна складна ставка дохідності — це така ефективна ставка дохідності, за якою проценти виплачують та реінвестують неперервно, тобто кількість періодів нарахувань процентів прямує до нескінченості.

У деяких виданнях з фінансової математики в разі неперер­вного нарощування процентів застосовують інший термін для опису неперервних складних ставок дохідності — силу росту.

Сила росту характеризує відносний приріст нарощеної суми за нескінченно малий проміжок часу. Вона може бути постійною або змінюватись в часі.

Аналізуючи граничний випадок рівняння (3.14) за умови, що кількість нарахувань т прямує до нескінченності, можна записа­ти такий вираз стосовно множника нарощування складних про­центів:

(3.16)

де е — експонента, основа натурального логарифма: е = 2,718281... Врахувавши у рівнянні (3.15) отриманий вираз (3.16), запи­шемо граничне значення складної неперервної ставки дохідності:

Таким чином, ефективна ставка дохідності складних процен­тів ніколи не перевищує величину .

У практичних розрахунках такі ставки майже не застосовують, але їх дослідження — один зі шляхів розвитку наукової складової фінансової математики.

Зазначимо також, що з урахуванням властивості (3.16), для неперервних складних процентів формула (3.14) набуде вигляду:

(3.17)

Отже, незалежно від тривалості фінансової угоди п, частоти нарахувань процентів т та номінальної ставки дохідності r, множ­ник нарощування складних процентів ніколи не перевищуватиме величину ℓ^r*n. Причому, у разі неперервного способу нарахуван­ня складних процентів рівняння оцінки майбутньої вартості є експоненціальною функцією, а величина майбутньої вартості не залежить від частоти нарахувань т.

Розглянувши номінальні, ефективні та неперервні ставки склад­них процентів, зробимо висновки стосовно їх практичного вико­ристання.

Оскільки у практиці фінансових розрахунків тривалість угод доволі часто не співпадає з цілим числом періодів (років, кварта­лів, місяців тощо), то задача визначення реальних (ефективних) ставок дохідності за відомих задекларованих (номінальних) ста­вок є одним з ключових питань фінансової математики.

Проте, більшість сучасних фінансових угод передбачає дис­кретне нарахування процентів, тому неперервні ставки дохідності поки що мають дуже обмежене коло застосування.

Згодом, за поступового ускладнення науково-практичних завдань, що стоять перед фінансовим менедж­ментом, сфера практичного застосування неперервних ставок та сил росту буде розширюватися, оскільки при цьому з'являти­меться можливість використання більш потужного математично­го апарату.