6. . Інші види фінансових рент

Вище було висвітлено основні види річних рент (ануї­тетів), які найбільш широко застосовують на практиці. Проте у загальному випадку будь-яка рента може передбачати р платежів за рік, при цьому проценти на них нараховують т разів на рік. Причому періодичність та кількість платежів р не обов'язково збігається з періодичністю та кількістю нарахувань процентів т.

Зрозуміло, що у цьому разі питання оцінювання теперішньої та майбутньої величин таких рент значно ускладнюється. Розгля­немо це питання на прикладі рент постнумерандо.

Нехай скінчена рента постнумерандо передбачає р платежів за рік, при цьому проценти, нараховують т разів на рік. Поди­вимось, як видозміняться канонічні рівняння (5.4) та (5.6) за­лежно від кількості платежів та періодичності нарахувань про­центів.

Розглянемо наступні співвідношення.

Загальний випадок — т ≠р

У цьому випадку для нарощеної суми маємо:

(5.21)

Знаючи нарощену величину такої ренти, можна знайти її тепе­рішню вартість з рівняння (5.22):

(5.22)

Розглянемо окремі випадки цієї ренти.

Річна рента (р = 1) з нарахуванням процентів т разів за рік.

Якщо проценти нараховують т разів на рік, а платежі річні, то нарощена сума дорівнює:

(5.23)

Теперішню величину такої ренти обчислюють за формулою (5.23).

р - термінова рента з нарахуванням процентів один раз за рік (т = 1)

Якщо платежі здійснюються декілька разів за рік, а проценти нараховують один раз за рік нарощена сума дорівнює:

(5.24)

Теперішню величину такої ренти розраховують за формулою (5.5).

р — термінова рента з т =р

Досить часто у фінансових обчисленнях припускають, що кіль­кість платежів за рік та кількість нарахувань процентів збігаються (тобто т=р).

Майбутня сума такої ренти дорівнює:

(5.25)

Теперішню величину цієї ренти обчислюють за формулою (5.23).

Підставивши вираз (5.25) у рівняння (5.22) отримаємо:

Аналогічні рівняння можна вивести не лише для рент з платежами наприкінці періоду, а й для рент з платежами в довільний момент часу.

Повертаючись до класифікації, наведеної в табл. 2.1, підкреслимо, що уточнюючи ще ряд параметрів, окрім періодичності платежів та нарахування процентів, можна отримати зовсім інші типи рент.

Наприклад, було розглянуто лише постійні ренти, в яких ве­личини всіх членів ренти однакові. Зрозуміло, що існують і змінні ренти з різними розмірами платежів. Причому в деяких випадках члени такої ренти змінюються за певними закономірно­стями. Наприклад, виокремлюють змінні ренти з постійним аб­солютним приростом платежів (розміри членів ренти зміню­ються за арифметичною прогресією) та постійним відносним приростом платежів (за геометричною прогресією).

Крім того, було розглянуто лише дискретні ренти, за якими платежі надходять через фіксовані проміжки часу. Але інколи потік платежів розглядають як неперервний процес.

Найскладнішими в математичному плані є фінансові ренти, що описують неперервним змінним потоком платежів. На сьогодні, вони майже не застосовні на практиці, проте є окремим напрямом наукових досліджень.

У фінансових обчисленнях, які стосуються таких потоків пла­тежів, вважають, що коли потік неперервний, то розміри плате­жів у часі описуються функцією , а для нарахування про­центів використовують процентну ставку у вигляді сили росту .

Тоді нарощену суму неперервного змінного потоку платежів, відповідно до введених раніше позначень, визначають так:

(5.26)

Відповідно, теперішня вартість такого потоку дорівнює:

Необхідно зазначити, що оскільки через потоки платежів опи­суються будь-які фінансові розрахунки в економіці, то розмаїття схем та механізмів фінансових операцій зумовлює появу безлічі інших видів фінансових рент.