4.2.2. Еквівалентність множників утримання простих та складних процентів

Оскільки, за правилами простих та складних процентів виконують не лише операцію нарощування або приведення {дис­контування) коштів, а також й операцію утримання, то доречним буде розглянути й питання еквівалентності множників утримання простих та складних процентів.

У відповідності до рівняння простих відсотків множник утри­мання простих відсотків за обліковою ставкою — це величина (1 – d*n).

А у відповідності до рівняння складних відсотків множник утримання скла­дних відсотків за обліковою ставкою — це величина (1 - d)ⁿ.

Позначимо облікову ставку дохідності (ставку утримання), яку розраховано за простими процентами як d_is, а ставку, яку роз­раховано за складними процентами, як d_ic. Тоді, відповідно до введених позначень, умову еквівалентнос­ті простих та складних множників утримання процентів можна записати у вигляді наступного рівняння:

(4.4)

Зазначимо, що формула (4.4) передбачає, що операції утри­мання простих та складних процентів здійснюють протягом од­накового терміну часу, тобто .

З рівняння (4.4) можна виразити еквівалентні прості та склад­ні облікові ставки дохідності, які застосовують для знаходження еквівалентного множника утримання при зміні методики утри­мання процентів.

У разі, коли необхідно визначити просту облікову ставку за відомої складної, вираз (4.4) необхідно перетворити так:

(4.5)

Якщо ж розв'язати потрібно обернену задачу — знаходження складної облікової ставки за відомої простої, то вираз (4.4) доцільно перетворити так:

(4.6)

Зауважимо, що вирази (4.5) та (4.6) мають економічний сенс лише, коли облікові ставки дохідності d_is та d_ic менші від 100 %.

Говорячи про еквівалентність множників утримання, необхід­но також розглянути питання порівняння темпів зменшення (утримання) вартості при застосуванні правил простих та склад­них процентів. Графічну ілюстрацію співвідношення множників утримання для одиниці вартості наведено на рис. 4.2.

1

d

(1-d)ⁿ

1-d*n

t

1 1/d

Рис. 4.2. Графік множників утримання вартості за правилами простих та складних процентів

Зазначимо, що хоча обидві функції, зображені на рис. 4.2, є спадними, їхня область існування обмежена проміжком [0;1], що в свою чергу накладає певні обмеження на допустимі значення параметрів d та п.

Зрозуміло, що кут нахилу цих функцій залежить від величини ставки утримання d. Чим більша ця ставка, тим швидше зменшується вартість у часі, і тим крутіший нахил відповідної функції.

З рис. 4.2 неважко побачити, що на проміжку t є (0;1) більши­ми є значення функції множника утримання простих процентів, а на проміжку t є (1;n), навпаки — значення функції множника утри­мання складних процентів. Графіки функцій множників утри­мання перетинаються лише один раз при t=1. Тобто, еквівалент­ність (рівність) множників утримання простих та складних про­центів, за умови однакових параметрів r та п, досягається лише за одноразового утримання коштів. Дійсно, за умов d_іс =d_is = d та t=1: , що відповідає множнику утриман­ня для одноразового утримання (зменшення) вартості. Також зазначимо, що при строку t більшому за одиничний пе­ріод, темп зменшення вартості за правилом простих процентів набагато швидший. Так, за правилом утримання простих процентів вартість зменшується до нуля в кінцевому періоді часу п = 1/ d_is. Наприклад, за ставки d_is = 20 %, множник утримання простих про­центів, а отже, й кінцева вартість дорівнюватимуть нулю вже через 5 періодів часу. При цьому, множник утримання складних процен­тів, за тих самих умов, дорівнюватиме Dis _5;20% = 0,32768.

Стосовно множника утримання складних процентів також не­обхідно підкреслити, що зі збільшенням кількості періодів п темп спадання вартості значно уповільнюється. Саме тому, у практиці фінансових обчислень методику утримання складних процентів рідко застосовують для великої кількості періодів. Як правило, кількість періодів утримання не перевищує 2-3.

В цілому, порівняння множників утримання простих та скла­дних процентів дає змогу зробити відповідні висновки.

Якщо взяти однакові за величиною, але різні за правилом на­рощування процентів річні облікові ставки, маємо:

• для строку меншого за один рік спадання (утримання) вартості відбувається швидше за правилом складних процентів, тобто:

;

• для строку більшого, ніж один рік спадання (утримання) варто­сті відбувається швидше за правилом простих процентів, тобто:

;

• для строку t=1 рік множники утримання дорівнюють один одному, тобто:

Нагадаємо, що взагалі операція утримання процентів має обмежену сферу застосування, тобто облікові ставки (d) не так поширені, як ставки дисконтування (r). Проте, якщо комер­ційні розрахунки передбачають застосування облікових ставок, то, відповідно принципам максимізації прибутку, рекомендо­вано дотримуватися правила — у короткострокових фінансо­вих угодах (строк менший за 1 рік) утримання здійснювати за складними процентами, а у довгострокових — за простими про­центами.