2.4. Мавпяче дерево

В роботі Мандельброта [13:55] зустрічається дуже схожий генератор для побудови мавпячого дерева (рис. 2.11).

Рис. 2.11.

Але чому Мандельброт запропонував використовувати саме такий генератор, і як пояснити те, що він дуже схожий на генератор острівця Коха?

Порівнюючи генератори острівця Коха (рис. 2.9) і мавпячого дерева (рис. 2.11), можна побачити, що точки та точки – відповідні точки острівця Коха. Що ж стосується точок , то вони лежать всередині острівця Коха, тобто є точками кривої обходу внутрішнього острівця, крім того цей острівець обходиться лише частково (рис. 2.12), чим пояснюються пустоти утворені при побудові мавпячого дерева (рис. 2.13).

Рис. 2.12.

Рис. 2.13.

Змінюючи вищенаведений генератор для побудови мавпячого дерева або правило обходу трикутника, можна отримати кілька об’єктів, що дуже схожі на острівець Коха та мавпяче дерево (рис. 2.14, 2.15, 2.16, 2.17) [2].

Рис. 2.14.

Рис. 2.15.

Рис. 2.16.

Рис. 2.17.

2.5. Узагальнення сніжинки Коха

2.5.1. О з н а ч е н н я з і р к и з і р о к

Означення 5. Візьмемо острівець Коха (нульовий крок побудови) і приєднаємо до нього шість острівців Коха, кожен з яких подібний до початкового острівця із коефіцієнтом подібності (перший крок побудови). Схематично це показано на рис. 2.18 (“пусті місця” між острівцями насправді заповнені). До утвореної фігури знову приєднуємо острівці Коха, кожен з яких подібний до попереднього острівця із коефіцієнтом подібності (наступний крок побудови) (рис. 2.19).

Рис 2.18. Рис 2.19.

Зіркою зірок називається лінія, що утвориться в результаті нескінченної кількості таких добудов, яка обмежує фігуру, складену із зліченної множини острівців Коха (рис. 2.20).

Рис 2.20.

Означення 6. Острівцем зірки зірок називається зірка зірок разом із частиною площини, яку вона обмежує.

2.5.2 В л а с т и в о с т і з і р к и з і р о к. Результати цього та наступного пунктів взято з кваліфікаційної роботи Уткіної А.С. [24].

Властивість 1. На кожному кроці побудови, починаючи з п’ятого, в зірці зірок будуть утворюватися “дірки”, які мають форму острівця Коха (рис. 2.21).

Рис. 2.21.

Властивість 2. В зірці зірок немає дірок.

Виявляється “дірки” з властивості 1 заповнюються так, що при нескінченному наростанні зірок, зовсім зникають (рис. 2.22).

Рис 2.22.

Зауваження. На кожному кроці побудови зірки зірок, всі “дірки” (і новоутворені, і ті, що утворились на попередніх кроках побудови) мають однаковий діаметр (який постійно зменшується, прямуючи до нуля).

Властивість 3. Точки зірки зірок, які найбільше віддалені від її центра, знаходяться на відстані від нього (за одиницю взято півдіаметр початкового острівця Коха).

Властивість 4. Точки зірки зірок, які найменше віддалені від її центра, знаходяться на відстані від нього (за одиницю взято півдіаметр початкового острівця Коха).

Властивість 5. Зірка зірок і сніжинка Коха не подібні між собою. Острівець зірки зірок і острівець Коха також не подібні між собою.

2.5.3. Новий клас зірок. Зробимо два кроки у побудові зірки Коха і прикладемо до неї зірочки, які менші за початкову у рази. А до них добудуємо зірочки, які менші за зірки першого кроку у рази і т. д. Отримаємо новий об’єкт (див. рис. 2.23).

Рис. 2.23.

За допомогою комп’ютера вдалося зробити сім кроків побудови. На сьомому кроці було добудовано 5.488.957 зірок. Площа побудованого об’єкту S=1,37426858. Вона співпадає з площею зірки, яка має нескінченну кількість добудов лише до третього порядку.

2.5.4. В і н о ч о к

Означення 7. Візьмемо послідовність і множину коренів шостого степеня з одиниці , . Кожному числу , записаному в шістковій системі числення, яке належить відрізку [0,1] і має нескінченну кількість цифр після коми, поставимо у відповідність точку комплексної площини .

Множина точок комплексної площини, утвореної за таким правилом називається віночком (діаметра 2)(рис. 2.24). (Цей спосіб побудови та задання фрактальних об’єктів був запропонований професором Працьовитим М.В.).

Рис 2.24.

Означення 8. Віночком називається орбіта групи перетворень , де - гомотетія з центром в точці і коефіцієнтом , - поворот навколо деякої довільної, наперед заданої точки на кут .

Теорема 2.1. Віночок разом із частиною площини, яку він обмежує, утворює острівець Коха.

Доведення. Згідно з означенням сніжинки Коха і означення віночка, кожна точка сніжинки Коха є точкою віночка. Але, оскільки діаметри сніжинки Коха і віночка співпадають, то віночок разом із частиною площини, яку він обмежує, утворює острівець сніжинки Коха. Доведено.

Означення 9. Розділимо острівець сніжинки Коха на сім острівців сніжинок Коха (згідно властивості оcтрівця сніжинки Коха, це можна зробити) так, що центральний острівець подібний до початкового з коефіцієнтом подібності , а шість інших – з коєфіцієнтом подібності (згідно доведення властивості острівця сніжинки Коха, це можна зробити), і викинемо центральний острівець сніжинки Коха, залишивши його межу. Отриману фігуру назвемо заповненим віночком.