3.7. Узагальнення серветки Серпінського
Розглянемо
фрактальну множину
,
яка є просторовим аналогом трикутного
килима Серпінського.
3.7.1. О п и с о в и й с п о с і б з а д а н н я. На першому кроці побудуємо чотири площини, кожна з яких паралельна одній з граней правильного тетраедра і проходить через середини трьох ребер, що виходять з вершини, протилежної цій грані. Утворений октаедр викинемо з початкового тетраедра і отримаємо чотири конгруентні правильні тетраедри. На другому кроці з ними виконуємо такі ж дії і так далі до нескінченності. Деяке уявлення про цю фігуру дає рис. 3.20.
Рис. 3.20.
Утворений фрактал (рис. 3.21) Б.Мандельброт називає фрактальною павутиною [12,ст. 207].
Рис. 3.21. Фрактальна павутина
Фрактальна
розмірність павутини
.
Хоч
розмірність і ціле число, але менше за
топологічну розмірність об’єкта.
Аналітичний спосіб задання цього
фрактала:
Якщо ж, так як і в двовимірному випадку видалятимемо лише один верхній кубик, який лежить навпроти початку осей координат, отримаємо теж об’єкт з фрактальними властивостями. Його фрактальна розмірність
.
Аналітично цей фрактал задається так:
Цей об’єкт з точки зору теорії розгалужень по своїй структурі ближчий до фрактальної піни. Деяке уявлення про нього можна отримати з рис.3.22, на якому показано ті кубики, які викидаються на перших декількох етапах побудови.
Рис. 3.22.
Отже, як і у випадку килима Серпінського, на основі аналізу отриманих фракталів, бачимо певну схему. Слідуючи у простори вищих порядків, отримуватимемо нові й нові фрактальні множини, зовнішній вигляд яких ще не було зображено.
3.7.2.
А
н
а
л
і
т
и
ч
н
и
й
с
п
о
с
і
б
з
а
д
а
н
н
я.
Нехай
-
множина, утворена на
-му
кроці побудови множини
.
Лема 2.
.
Теорема
3.2. Нехай
,
тоді
.
Зв’язок трикутника Паскаля з трикутником Серпінського
Ряди
трикутника Паскаля умовно пронумеровані
згори, починаючи з нульового, й числа в
нижньому ряді відносно чисел у попередньому
ряді завжди розміщені ступінчато й
навскіс. Побудувати цей трикутник
просто. Кожне число в кожному ряді
одержуємо, додавши два числа, розміщені
вгорі (зліва і справа). Якщо зліва або
справа немає числа, підставляємо нуль
на його місце. Наприклад, перше число в
першому ряді
,
тоді, як числа
і
в третьому ряді утворюють число 4 в
четвертому ряді:
[1].
На рис. 1.1 зображено перші 14 рядків
трикутника Паскаля.
Рис.
1.1. Перші 14 рядків трикутника Паскаля.
Трикутник
Паскаля за
Якщо
при побудові трикутника Паскаля
записувати замість чисел їхню остачу
від ділення на два, то на місці парних
чисел буде
,
непарних –
(рис. 1.2).
Р
ис.
1.2. Трикутник Паскаля за
.
Спостерігаємо, що трикутник Паскаля за утворює трикутний килим Серпінського.
Трикутник
Паскаля за
Аналогічно,
якщо при побудові трикутника Паскаля
записувати замість чисел їхню остачу
від ділення на три, то на місці
чисел, кратних
,
буде
,
(рис. 1.3).
Рис. 1.3. Трикутник Паскаля за .
Спостерігаємо, що трикутник Паскаля за утворює третинний трикутний килим Серпінського.