1.4. Завдання
1.
Знайти функцію Кантора від числа
.
2.
Знайти функцію Кантора від числа
.
3. Утворимо таку множину з відрізка [0;1]: поділимо відрізок на 5 частин і викинемо середину, потім над відрізками, які залишилися, проробляємо таку ж операцію. Цей процес продовжимо до нескінченності. Знайти довжину викинутих відрізків. Як можна представити точки даної множини. Знайти розмірність даної множини.
4. Утворимо таку множину на відрізку [0;1]: ділимо відрізок на 7 частин і середину заміняємо так, як це вказано на малюнку. Потім кожен з отриманих відрізків зазнає тих самих перетворень і т.д. Знайти довжину такої лінії та її розмірність.
5.
Знайти функцію Кантора
.
6. Визначити фрактальну розмірність фрактала, що складається з тих точок відрізка [0,1], в десятковому представленні яких відсутня цифра 4. Побудувати дану множину.
7. Визначити фрактальну розмірність фрактала, що складається з тих точок відрізка [0,1], в десятковому представленні яких відсутні цифри 4 та 6. Побудувати дану множину.
8. Визначити фрактальну розмірність фрактала, що складається з тих точок відрізка [0,1], в десятковому представленні яких відсутні цифри 3 та 7. Побудувати дану множину.
9. Визначити фрактальну розмірність фрактала, що складається з тих точок відрізка [0,1], в п’ятірковому представленні яких відсутні цифри 2 та 4. Побудувати дану множину.
10. Визначити фрактальну розмірність фрактала, що складається з тих точок відрізка [0,1], в п’ятірковому представленні яких відсутні цифри 1, 2 та 4. Побудувати дану множину.
11.
Визначити фрактальну розмірність
фрактала на площині, що складається з
точок
,
де
,
причому в десятковому представленні
чисел
і
відсутні цифри 3 та 7. Побудувати дану
множину.
12. Визначити фрактальну розмірність фрактала на площині, що складається з точок , де , причому в десятковому представленні чисел і відсутні цифри 5 та 9. Побудувати дану множину.
13. Визначити фрактальну розмірність фрактала на площині, що складається з точок , де , причому в десятковому представленні числа відсутні цифри 2 та 7, а в десятковому представленні числа відсутні цифри 3, 5 та 8. Побудувати дану множину.
14. Визначити фрактальну розмірність фрактала на площині, що складається з точок , де , причому в системі числення за основою 5 в записі чисел і відсутні цифри 0 та 4. Побудувати дану множину.
15. Визначити фрактальну розмірність фрактала на площині, що складається з точок , де , причому в системі числення за основою 5 в записі числа відсутні цифри 1 та 3, а в записі числа відсутні цифри 0, 2 та 4.
16. Створити програму на будь-якій з мов програмування для побудови та обчислення розмінностей фракталів, описаних у завданнях 6-10.
17. Створити програму на будь-якій з мов програмування для побудови та обчислення розмінностей фракталів, описаних у завданнях 11-15.
Cніжинка Коха
2.1. Означення сніжинки Коха
Означення
1. Нехай
– початковий відрізок (рис 2.1). Заберемо
середню третину і додамо два нових
відрізки такої самої довжини. Назвемо
отриману множину
.
Повторимо цю процедуру багатократно,
на кожному кроці заміняючи середню
третину двома новими відрізками.
Позначимо через
фігуру, отриману після n-го кроку.
Послідовність кривих
збігається до деякої граничної кривої
,
яку називають сніжинкою Коха [8:17].
Рис. 2.1.
На рис. 2.2 показана сніжинка Коха після трьох кроків побудови.
Рис 2.2.
О
Рис. 2.3.
значення 2. Сніжинкою Коха називається крива, кожна третина якої будується ітераційно, починаючи з однієї із сторін рівностороннього трикутника. Нехай – початковий відрізок (рис 2.1). Заберемо середню третину і додамо два нових відрізки такої самої довжини. До сніжинки Коха на цьому кроці належать точки
,
,
(рис. 2.3). Повторимо цю процедуру
багатократно, на кожному кроці заміняючи
середню третину двома новими відрізками.
На другому кроці сніжинці Коха крім вже
названих будуть належати точки
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
На інших сторонах рівностороннього трикутника робимо аналогічні побудови і одержуємо відповідні точки сніжинки Коха. Після нескінченної кількості кроків отримаємо зліченну множину точок, зробивши замикання якої (множина вже матиме потужність континуум) і одержимо сніжинку Коха.
Аналітичне задання. Ідея наведеного нижче способу побудови та аналітичного задання сніжинки Коха запропонована Працьовитим М.В. [23].
Означення
3. Візьмемо послідовність
:
і множину коренів шостого степеня з
одиниці
,
.
Кожному числу
,
яке належить відрізку [0,1] і має нескінченну
кількість цифр після коми, поставимо у
відповідність точку комплексної площини
(2.1)
Введемо
обмеження на вибір
:
,
коли
;
,
коли
,
причому забороняються такі комбінації
:
21,
22, 201, 202, 2001, 2002,
;
45, 44, 404, 405, 4004, 4005,
(2.2)
Множина точок комплексної площини, утворена за правилом (2.1) із обмеженням (2.2) на вибір , утворить сніжинку Коха діаметром 2.
Змінюючи послідовність та групу комплексних коренів n-го степеня з 1, можна будувати різноманітні фрактали.