МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ЧЕРКАСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ БОГДАНА ХМЕЛЬНИЦЬКОГО

Кестер Ольга Валентинівна

Класичні фрактали

Магістерська робота

зі спеціальності: 8.080101 – математика

денна форма навчання

математичний факультет

Науковий керівник –

кандидат фізико-математичних наук, доцент Атамась В. В.

Черкаси – 2008

ЗМІСТ

Вступ………………………………………………………………………....5

Розділ 1. Множина Кантора………………………………………………...8

1.1. Фрактал Кантора………………………………………………..8

1.1.1. Побудова та властивості…………………………………...8

1.1.2. Чортова драбина…………………………………………..15

1.1.3. Канторівські числа………………………………………..17

1.1.4. Векторна (арифметична) сума множин Кантора………..18

1.1.5. Визначення розмірності множини С……………………..19

1.2. Теорема про множини, гомеоморфні множині Кантора……22

1.2.1. Неперервні відображення та інваріанти неперервності...22

1.2.2. Топологічні інваріанти……………………………………26

1.2.3. Основна теорема…………………………………………..27

1.3. Застосування множин, гомеоморфних множині Кантора….28

1.4. Завдання………………………………………………………..31

Розділ 2. Сніжинка Коха………………………………………………......33

2.1. Означення сніжинки Коха…………………………….…..….33

2.2. Властивості сніжинки Коха…………………………………..35

2.3. Острівець Коха та його властивості………………………....37

2.4. Мавпяче дерево……………………………………………….41

2.5. Узагальнення сніжинки Коха………………………………...44

2.5.1. Означення зірки зірок…………………………………….44

2.5.2. Властивості зірки зірок………………………………..…45

2.5.3. Новий клас зірок………………………………………….46

2.5.4. Віночок……………………………………………………47

2.6. Дослідження аналогів зірки Коха у тривимірному

просторі……………………………………………………….49

2.6.1. Модель циліндричного виду……………………………..49

2.6.2. Модель конічного виду…………………………………...52

2.6.3. Брунькова модель……………………………………..…..54

2.6.4. Каркас брунькової моделі…………………………….…..59

2.7. Кубічне узагальнення сніжинки Коха…………………….…60

2.8. Завдання…………………………………………………….…66

Розділ 3. Килим Серпінського……………………………………………68

3.1. Килим та цвинтар Серпінського………………………….….68

3.1.1. Килим Серпінського……………………………………...68

3.1.2. Цвинтар Серпінського……………………………………69

3.2. Двовимірне узагальнення килима Серпінського…………...70

3.3. Аналоги килима Серпінського в тривимірному просторі…72

3.3.1. Фрактальна піна або “Яблуко”…………………………..72

3.3.2. Губка Менгера…………………………………………….73

3.3.3. Об’ємний пил Кантора…………………………………...75

3.4. Тривимірні узагальнення килима Серпінського……………76

3.5. Чотиривимірні аналоги килима Серпінського……………...79

3.5.1. Чотиривимірне яблуко……………………………………79

3.5.2. Чотиривимірна губка Менгера…………………………...80

3.5.3. Чотиривимірний аналог пилу Кантора…………………..82

3.5.4. Чотиривимірний пил Кантора……………………………83

3.5.5. Порівняльна характеристика……………………………..84

3.6. Трикутний килим Серпінського, його властивості та

способи задання………………………………………………85

3.6.1. Площа……………………………………………………...86

3.6.2. Крива Серпінського………………………………………87

3.6.3. Аналітичні способи задання……………………………..88

3.6.4. Самоподібність трикутного килима Серпінського……..93

3.7. Узагальнення серветки Серпінського……………………….94

3.7.1. Описовий спосіб задання………………………………...95

3.7.2. Аналітичний спосіб задання……………………………..95

3.8. Завдання……………………………………………………….95

Розділ 4. Крива Пеано…………………………………………………….97

4.1. Побудова кривої Пеано………………………………………97

4.2. Відомі різновиди та узагальнення кривої Пеано………….104

4.3. Узагальнення кривої Пеано на чотиривимірний та

п’ятивимірний простори……………………………………110

4.3.1. Узагальнення на чотиривимірний простір………….…110

4.3.2. Узагальнення на п’ятивимірний простір………………112

4.3.3. Узагальнення на п-вимірний простір…………………..113