Множина Кантора

Структури, які ми будемо розглядати в цьому розділі, утворені точками на прямій, тому їх порівняно легко досліджувати. Крім того, з їх допомогою можна в найбільш доступній формі представити деякі поняття, що займають центральне місце в теорії фракталів, але настільки рідко застосовувалися у минулому, що для їх позначення не було навіть придумано термінів. Почнемо з терміну “пил”, який відтепер набуває спеціальне значення як неформальний еквівалент терміну “множина, топологічна розмірність якої рівна 0” (так само, як “крива” і “площина” означають множини, топологічна розмірність яких рівна, відповідно, 1 і 2).

1.1 Фрактал Кантора

Класична множина Кантора, або пил Кантора, була названа на честь Георга Кантора, який описав її в 1883 році. Існування пилу Кантора відмічалось ще в 1875 році Генрі Смітом. Ця множина добре відома як приклад Лебегової множини міри нуль, потужність якої рівна потужності континуума [0,1]. Фрактальні властивості пилу Кантора мають надзвичайно важливе значення, особливо враховуючи той факт, що багато відомих фракталів є її близькими „родичами” [8:38].

1.1.1. П о б у д о в а т а в л а с т и в о с т і.

Побудова пилу Кантора. Побудова класичного пилу Кантора починається з викидання середньої третини (не включаючи кінці) одиничного відрізку. Тобто вихідною множиною є відрізок [1, 0], і перший крок полягає в тому, що ми викидаємо відкритий інтервал (1/3, 2/3). На наступному і всіх інших етапах ми викидаємо середню третину (не включаючи кінці) всіх відрізків на даному рівні. Таким чином ми отримуємо (рис. 1.1) послідовність множин [8:39]:

С =[0,1]

С =[0,1/3] [2/3,1]

С =[0,1/9] [2/9,1/3] [2/3,7/9] [8/9,1]

С.

Гранична множина С, що являє собою перетин множин С , n = 0, …,i називається класичним пилом Кантора.

Рис. 1.1.

Канторів гребінь. Оскільки показати графічно пил Кантора надзвичайно важко в силу його розрідженості, то для наочності частіше використовують зображення (рис. 1.2), що є декартовим добутком множини С на відрізок якоїсь довжини. В даному випадку – на відрізок [0, 3]. В такому вигляді множина Кантора носить назву Канторового гребня.

Рис. 1.2.

Властивості пилу Кантора

Властивість 1. Канторів пил не містить інтервалів додатної довжини.

Це, в свою чергу, означає, що сума довжин інтервалів, які викидаються при побудові дорівнює 1.

Доведення. Довжина першого інтервалу, який ми викинули складає 1/3. Щоб отримати С₂, ми викинули два інтервали, кожний довжини 1/(3²). На наступному кроці ми викинули 2² інтервалів, кожний довжини 1/3³ і т.д. Таким чином сума довжин викинутих інтервалів S складає:

S = 1/3 + 2/3² + 2²/3³ + … + 2^n-1/3ⁿ + …

Перепишемо цей вираз у вигляді:

S = (1/3)(1+2/3+(2/3)²+(2/3)³+…), і за допомогою формули суми геометричної прогресії, а саме

, де

ми отримуємо

Це означає, що сума довжин сегментів, що залишилися має бути рівна 0. Доведено.

Властивість 2. Потужність множини Кантора С дорівнює потужності континууму.

Доведення. Дві множини мають однакову (рівну) потужність, якщо існує взаємно однозначна відповідність між точками цих множин.

Нам потрібно встановити взаємно однозначну відповідність між точками із С і точками відрізку [0, 1]. Для цього проведемо дослідження арифметичної структури множини Кантора. Розглянемо двійковий (по основі два) і трійковий (по основі три) розклади точок відрізку [0, 1].

Для того, щоб уникнути непорозумінь в тому випадку, коли точка має два двійкові чи трійкові представлення, ми будемо завжди вибирати те представлення яке закінчується всіма одиницями в двійковому розкладі і всіма двійками в трійковому.

Відмітимо, що точка попадає в множину Кантора С тоді і тільки тоді, коли в її трійковому представленні відсутні одиниці, тобто коли в ньому присутні тільки нулі або двійки.

Тобто, множина С – це множина всіх точок відрізка[0, 1], які можуть бути записані трійковим дробом без вживання цифри 1:

.

Тоді шукана відповідність точок із С з точками відрізку [0,1] здійснюється заміною всіх двійок в трійковому представленні х на 1. Двійкове представлення отримане таким чином, визначає деяке дійсне число у. Наприклад, якщо х належить С є:

х=0,0022002200202...(в трійковій системі),

то покладаємо

у=0,0011001100101...(в двійковій системі).

Описана процедура визначає взаємно однозначну відповідність між х С і у [0,1]. Це і доводить континуальність С. Доведено.

Властивість 3. Множина Кантора вимірна за Лебегом і її лебегова міра рівна 0.

Доведення. Нагадаємо, що множина С називається вимірною за Лебегом, якщо m С=m С, а спільне значення m С і m С називається мірою Лебега множини С і позначається mС:

mС = m С=m С,

де m С – зовнішня міра Лебега обмеженої множини точок С [a;b], тобто (за означенням зовнішньої міри) нижня межа сум довжин усіх можливих скінченних або зчисленних попарно неперекривних інтервалів С_k, які покривають множину С і містяться на сегменті [a;b]:

m С= ,

де С_k - довжина інтервалу С_k., a m C – внутрішня міра множини C [a;b] за Лебегом, тобто (за означенням внутрішньої міри) це число

m C=(b-a)- m CC,

де CC=[a;b]\C – доповнення множини C до [a;b].

Перейдемо до множини Кантора:

m С=0, оскільки сума довжин сегментів С_k рівна 0, що було показано вище;

m С=(1-0)-m CС=(1-0)-1=0, оскільки доповненням множини С до відрізку [0, 1] є об’єднання всіх викинутих інтервалів, сума довжин яких рівна 1. Ми отримали наступний результат:

m С=m С=0.

Тобто, множина Кантора вимірна за Лебегом і її лебегова міра рівна 0. Доведено.

Властивість 4. Замкненість.

Доведення. Множина називається замкненою, якщо вона містить у собі всі свої граничні точки, тобто С С.

Назвемо замкненими відрізками першого рангу ті два замкнені відрізки, які залишаються на площині після викидання центрального інтервалу, а сам центральний інтервал – відкритим інтервалом першого рангу. Аналогічно визначимо замкнені інтервали другого рангу (їх кількість дорівнює 2²) і відкриті інтервали другого рангу. Продовжуючи таким чином ми визначимо відкриті і замкнені множини всіх рангів. Ясно, що С= , де С_n – об’єднання всіх замкнених множин рангу n. Так як кожна множина С_i, i=1, 2, …,n замкнена, то і їх перетин (тобто С) також замкнений. Доведено.

Властивість 5. Множина С – ніде не щільна.

Доведення. Щоб довести, що С ніде не щільна розглянемо довільний відкритий інтервал J. Цей інтервал або повністю вільний від точок множини С, або містить хоча б одну його точку М. Доведемо, що в останньому випадку в J знайдеться менший інтервал, повністю вільний від точок множини С. Для того, щоб переконатися в цьому розглянемо замкнений відрізок С_n рангу n, що містить М і такий, щоб його довжина була менша відстані від точки М до границі J (це можливо здійснити, так як довжини замкнених С_k прямують до нуля при n→ ). Цей відрізок повністю лежить всередині J. Тоді відкритий інтервал n+1-го рангу, що лежить всередині відрізка С_n, повністю вільний від точок множини С (і також лежить всередині інтервалу J). Звідси слідує, що інтервал, вкладений в цей відрізок, буде лежати всередині інтервалу J і не буде містити точок множини С. Отже, С – ніде не щільна множина на площині. Доведено.

Властивість 6. Досконалість.

Доведення. Множина називається досконалою, якщо вона замкнена і не містить ізольованих точок. Точка х множини А називається ізольованою точкою цієї множини, якщо вона міститься в околі, що не містить інших точок цієї множини.

Покажемо, що С не має ізольованих точок. Нехай М₀ належить С; опишемо навколо М₀ довільний окіл J і розглянемо замкнений сегмент С_n, що містить М₀ і міститься в J. Межі цього сегменту будуть належати С і міститися в J. Отже, М₀ не є ізольованою точкою.

Так як С замкнена і не містить ізольованих точок, то С – досконала множина. Доведено.

Властивість 7. Компактність.

Доведення. Нагадаємо, що множина А називається компактною, якщо вона замкнена і обмежена; множина А називається обмеженою, якщо вона має скінченний діаметр. Тобто: (А)< ; діаметром множини А називається наступна величина: .

Для того, щоб показати, що множина Кантора компактна, переконаємося в тому, що вона замкнена і обмежена. Замкненість множини С було доведено вище. Обмеженість очевидна (вся множина цілком міститься на сегменті [0, 1]). Приходимо до висновку, що множина С – компактна. Доведено.

Властивість 8. Множина Кантора C – цілком незв’язна.

Говорять, що множина А – цілком незв’язна, якщо найбільші зв’язні підмножини множини А являють собою одноточкові множини, іншими словами, якщо всі компоненти А – одиночні точки. Так як множина Кантора є об’єднанням відрізків С_к, сума довжин яких, як було доведено вище, рівна нулю, то всі С_к – одиночні точки. Доведено.

Означення 1.1. Фігура А – самоподібна, якщо А, якщо виконуються умови

1)

2)

3) – «малий» ( ), де – коефіцієнт подібності, .

Означення 1.2. Розмірністю само подібності множини А є корінь рівняння , де – коефіцієнт подібності, .

Властивість 9. Пил Кантора є самоподібний фрактал розмірності D=log(2)/log(3)≈0,6309.

Доведення. Виведення цієї властивості очевидно слідує з самого означення розмірності самоподібності. Доведено.

Наведемо кілька прикладів множин типу Кантора [8:43].

Приклад 1. Множина Кантора розмірності D≈0,9542.

Позначимо через х множину всіх дійсних чисел відрізку [0,1], в десятковому представленні яких:

х=0,х₁х₂х₃...

відсутня якась цифра, наприклад цифра сім. Так, числа

0=0,000 ...

1=0,99999 ...

¼=0,2500 ...

належать множині Х. Належить Х і число 0,7, так як ми можемо записати його наступним чином:

0,7=0,6999 ...,

тобто не використовуючи цифру 7.

По деяким міркуванням стає зрозуміло, як побудувати множину Х. Нехай Х₀ = [0, 1]. Розділимо Х₀ на десять рівних інтервалів. Цифра х₁ вказує, якому з інтервалів належить х. Якщо х₁ = 0, то х попадає в перший інтервал і т.д. Але є випадок, коли х співпадає з кінцем якогось відрізка. Тоді маємо два можливих представлення числа х: одне закінчується всіма нулями, інше – всіма дев’ятками. Але це не складає жодних проблем, оскільки ми домовились наперед, що жодна цифра х_і не дорівнює 7. Оскільки х₁ ≠ 7, то х не попадає в восьмий інтервал, тобто х (0,7;0,8). Викинемо цей інтервал і позначену множину, що залишилась через х₁. Розділимо кожний із дев’яти інтервалів, що залишились, на десять рівних частин. Так як х₂ ≠ 7, то ми можемо викинути кожний восьмий із отриманих інтервалів. Позначимо нову множину через Х₂. Повторюючи цю процедуру нескінченне число раз, отримаємо послідовність вкладених множин Х₀ ,Х₁, Х₂,... Шукана множина Х є перетином всіх цих множин. Із побудови слідує, що Х представляє собою об’єднання N=9 зменшених в 10 раз (r=1/10) копій самого себе. Таким чином Х – самоподібний фрактал, і його фрактальна розмірність рівна D=log(9)/log(10)≈0,9542.

Приклад 2. Множина Кантора розмірності D = 1.

Перейшовши від прямої до площини, можна побудувати множину Кантора розмірності D=1. Нехай початкова множина одиничний квадрат на площині з вершинами в точках (0,0), (1,0), (1,1), (0,1). На кожному кроці квадрати замінюються чотирма меншими як показано на рисунку 1.3. Гранична множина цієї побудови є самоподібний фрактал із N=4 і коефіцієнтом подібності r=1/4. Звідси слідує, що його розмірність рівна:

D = log(4)/log(4) = 1.

Рис. 1.3.

Далі розглянемо множину Кантора дещо детальніше з алгебраїчної точки зору.

1.1.2. Ч о р т о в а д р а б и н а. Існує функціональний аналог множини Кантора – функція Кантора [21]. Вона будується наступним чином. Поділимо відрізок [0, 1] на три рівні частини і покладемо, що у всіх точках середньої частини наша функція дорівнює . Потім ліву і праву третини знову розділимо на три рівні частини і покладемо, що від до функція рівна , а від до вона рівна . Тепер залишилося чотири відрізки, на яких функція ще не визначена:

.

Розділимо кожен з них на три рівні частини і на кожній з середніх частин покладемо функцію, рівну відповідно .

Продовжуючи цей процес, ми отримаємо функцію, яка визначена у всіх точках, які не належать канторовій множині. Її легко визначити і в точках цієї множини так, щоб вона стала після цього неперервною і неспадною. Графік отриманої функції наближено зображено на рис. 1.4. Він має вигляд драбини з нескінченним числом сходинок і саме тому отримав назву “чортова драбина” [11:134].

Отже, після того, як ми познайомились з лініями, які мають нескінченно багато максимумів і мінімумів, драбиною з нескінченним числом сходинок навряд чи когось здивуєш. Але дивно інше. Підрахуємо загальну довжину всіх сходинок нашої драбини. Перша сходинка має довжину , дві другі – по , наступні чотири сходинки мали довжину по і так далі. Таким чином, сума довжин всіх сходинок виражається нескінченною спадною геометричною прогресією

Рис. 1.4.

Сума цієї прогресії рівна

.

Таким чином, загальна довжина всіх сходинок рівна 1. Але на цих сходинках функція зовсім не піднімається вгору, весь її підйом зосереджений в точках канторової множини. А на долю цієї множини залишилось дуже «мало» точок – хоча її потужність і рівна континууму, але довжина рівна нулю! (Довжина всього відрізка [0, 1] рівна 1, загальна довжина сходинок рівна 1). Таким чином, наша функція піднімається вгору на 1, хоча росте лише на множині нульової довжини і не робить ніде стрибків! Дивно, чи не так?

1.1.3 К а н т о р і в с ь к і ч и с л а. Ті числа відрізка [0, 1], які в трійковій системі числення зображаються за допомогою цифр 0 та 2 називають канторівськими числами. Введемо в множині операцію * за правилом: , де якщо: - -тий трійковий знак числа .

Лема 1. Множина канторівських чисел разом з введеною операцією множення утворює комутативну групу.

Доведення. Очевидно, що є канторівським числом, тобто і операція * є замкненою. Більше того, для довільної трійки канторівських чисел має місце рівність .

Очевидно також, що справедливі рівності і для кожного канторівського числа . Таким чином введена операція для канторівських чисел є замкнена і для неї виконуються всі групові аксіоми, тобто є групою. Оскільки , то ця група є комутативною. Доведено.