3.1. Килим та цвинтар Серпінського

Узагальнюючи множину Кантора на двохвимірний простір, ми отримаємо дві фігури: килим Серпінського та цвинтар Серпінського.

Розглянемо способи їх побудови, аналітичні способи задання та властивості.

3.1.1. К и л и м С е р п і н с ь к о г о

Описовий спосіб задання. Цю фігуру можемо отримати так: візьмемо квадрат, на першому кроці поділимо його на 9 конгруентних квадратиків і відкинемо середній квадратик, залишивши його сторони. На наступному кроці проробимо це з кожним квадратиком, що залишився і т.д. В границі ми отримаємо деяку фігуру – килим Серпінського (див. рис. 3.1).

Рис. 3.1.

Аналітичний спосіб задання. Для того, щоб аналітично задати килим Серпінського, а також його узагальнення на 3-х та 4-х вимірні простори, будемо використовувати точки в трійковій системі числення виду (для 2-х вимірного простору): , де .

Якщо , , то ми отримаємо килим Серпінського.

По-іншому аналітично килим Серпінського можна задати так: позначимо множину його точок (верхній індекс позначає розмірність простору, якому належать точки досліджуваної множини, нижній – будову елементів, які викидаємо, наприклад, якщо викидаємо сфери – індекс нуль, циліндри – одиниця, площини – двійка і т.д.), тоді

.

Розмірність самоподібності. Порахуємо розмірність килима. Викорстуовуючи означення розмірності само подібності розв’яжемо рівняння

,

де – коефіцієнти подібності.

На першому етапі побудови ми ділимо квадрат на 9 квадратиків, і викидаємо 1, отже таких доданків буде 8 (к = 8), а коефіцієнт само подібності рівний (m= ). Підставивше дані в рівняння, одержимо:

.

Звідки .

Отже, розмірність самоподібності килима Серпінського x 1,893.

Площа. Порахуємо площу килима Серпінського. Для цього порахуємо площу тих квадратів, що викидались в процесі побудови. Якщо площа початкового квадрата була рівна 1, то площа квадратів, що викидаються буде:

.

Тобто площа килима Серпінського дорівнює нулю.

3.1.2. Ц в и н т а р С е р п і н с ь к о г о

Описовий спосіб задання. Цю фігуру можемо отримати так: візьмемо квадрат, на першому кроці поділимо його на 9 конгруентних квадратиків і відкинемо центральний квадратик і 4 прилеглих до нього. На наступному кроці проробимо це з кожним квадратиком, що залишився, і т.д. В границі ми отримаємо деяку фігуру – цвинтар Серпінського (див. рис. 3.2).

Рис. 3.2.

Аналітичний спосіб задання. Цвинтар Серпінського аналітично задати можна двома способами. Перший спосіб – декартовий добуток множини Кантора , тобто .

Другий спосіб, за допомогою точок в трійковій системі числення, де .

Якщо або , то ми одержимо цвинтар Серпінського.

По-іншому аналітично цвинтар Серпінського можна задати так: позначимо множину його точок (верхній індекс позначає розмірність простору, якому належать точки досліджуваної множини, нижній – будову елементів, які викидаємо, наприклад, якщо викидаємо сфери – індекс нуль, циліндри – одиниця, площини – двійка і т.д.), тоді:

Розмірність самоподібності. Порахуємо розмірність самоподібності цвинтаря Серпінського. Так як на першому етапі залишається 4 квадратики з подібністю до початкового, то підставивши ці дані в рівняння (див. попередній випадок) одержуємо:

.

Звідки .

Отже, розмірність самоподібності цвинтаря Серпінського рівна .