4.4. Завдання……………………………………………………...115

Глосарій…………………………………………………………………...116

Висновки……………………………………………………………….…125

Список використаних джерел…………………………………………...126

Додаток А…………………………………………………………………129

Додаток Б…………………………………………………………………140

ВСТУП

До недавнього часу геометричні моделі різних природних конструкцій традиційно будувалися на основі порівняно простих геометричних фігур: прямих, многокутників, кіл, многогранників, сфер. Проте очевидно, що цей класичний набір, цілком достатній для опису елементарних структур, стає погано застосовним для характеристики таких складних об'єктів, як контур берегових ліній материків, поле швидкостей в турбулентному потоці рідини, розряд блискавки в повітрі, контури дерева, кровоносно-судинна система людини та і ін. В останні 15 – 20 років для опису цих і подібних до них утворень вчені все частіше використовують нові геометричні поняття.

Одним з таких понять, котре змінило багато традиційних уявлень про геометрію, стало поняття “фрактал”, яке було введено в обіг французьким математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 році.

Основою фрактальної геометрії стала ідея самоподібності. Вона виражає собою той факт, що ієрархічний принцип організації фрактальних структур не зазнає значних змін при розгляді їх через мікроскоп з різним збільшенням. В результаті ці структури при малих масштабах виглядають в середньому так, як і при великих.

Саме дослідження множин такого типу, їх властивостей та взаємозв’язків з іншими фрактальними об’єктами, зокрема дослідження зв’язку між деякими фрактальними об’єктами та сніжинкою Коха, а також перевірка, вдосконалення, класифікація та систематизація результатів досліджень кількох поколінь студентів математичного факультету Черкаського національного університету імені Богдана Хмельницького з теми “Фрактали” і становило мету магістерської роботи. В даній роботі використано та опрацьовано результати праць Бенуа Мандельброта [13], Божокіна С. В. [4], Річарда Кроновера [8], Працьовитого М. В. [20], Маляренка А. А. [12], Гельга фон Коха [28] та інших видатних математиків, а також результати досліджень випускників Борщова В. П. [5], Грищенко Л. С. [6], Кулик С. В. [9], Ляпуна Р. П. [10], Мороз І. В. [14], Нечипоренка С.В. [16], Нечипоренко Т. М. [17], Плаксій Т. Д. [18] , Попляєвої К. М. [19], Терлиги Ю. В. [22], Уткіної А. С. [24], Яковлєвої О. П. [26].

Завданням магістерської роботи є створення посібника “Класичні фрактали” для використання викладачами і студентами при викладанні та вивченні курсу “Множини зі складною локальною структурою”, а також опрацювання літератури з даної теми.

Магістерська робота складається з чотирьох розділів: “Множина Кантора”, “Сніжинка Коха”, “Килим Серпінського”, “Крива Пеано”, глосарію, висновків і додатків.

В кожному розділі подано означення, властивості, способи побудови, аналоги відповідного фрактала в n-вимірному просторі (n 2) та їх класифікація, а також завдання для перевірки, закріплення і вдосконалення знань з даної теми. В глосарії подано основні теоретичні та практичні відомості необхідні для розуміння і засвоєння матеріалу, викладеного в посібнику.

Науковою новизною одержаних результатів є: доведення теореми про існування кривої, яка проходить через усі точки острівця Коха, що раніше не опубліковувалося; побудова ряду фракталів, що є “родичами” сніжинки Коха, про існування яких раніше не повідомлялось.

Практичним значенням одержаних результатів є те, що використання наведених алгоритмів, способів та методів побудови вже відомих фракталів дає змогу створювати та будувати все нові і нові фрактальні об’єкти, а також більше дізнатись про давно відомі класичні фрактали.

В даній магістерській роботі частково використано матеріал, який вже було опубліковано. Зокрема, зірці Коха було присвячено ряд публікацій. Не так давно в світ вийшла стаття Маляренка А. А. [12], в якій подано аналітичне задання цього об’єкту; в статті Атамася В. В. і Нечипоренка С. В. [3] побудовано узагальнення зірки Коха назване зіркою зірок; в статті Атамася В. В. та Ігнатюк О. В. [2] побудовано ряд “родичів” сніжинки Коха та доведено теорему про існування кривої, яка проходить через усі точки острівця Коха.

РОЗДІЛ 1