3.5. Чотиривимірні аналоги килима Серпінського

Результати цього підрозділу взято з дипломної роботи Плаксій Тетяни [18].

3.5.1. Ч о т и р и в и м і р н е "я б л у к о".

Описовий спосіб задання. Цю фігуру ми будуємо так, беремо гіперкуб і ділимо його на 81 конгруентних йому гіперкуби, а потім, на першому кроці побудови, ми викидаємо 1 центральний гіперкуб. На наступних кроках ми пророблюємо такі самі дії з кожним гіперкубом що залишився. Після нескінченної кількості кроків ми отримаємо чотиривимірне "яблуко" (див. рис. 3.8).

Рис. 3.8.

Аналітичний спосіб задання. Для того щоб аналітично задати чотиривимірне „яблуко” будемо й надалі використовувати точки в трійковій системі числення виду(для 4-х вимірного простору):

,

де

Якщо , , то ми отримаємо чотиривимірне „яблуко”.

Розмірність самоподібності. Порахуємо розмірність чотиривимірного „яблука”. На першому етапі побудови ми ділимо гіперкуб на 81 гіперкуб, і викидаємо 1, отже к = 80, а m = . Складаємо рівняння:

.

Звідки .

3.5.2. Ч о т и р и в и м і р н а г у б к а М е н г е р а

Описовий спосіб задання. Цю фігуру ми будуємо так, беремо гіперкуб і ділимо його на 81 конгруентних йому гіперкуби, а потім, на першому кроці побудови, ми викидаємо 1 центральний гіперкуб і 8 прилеглих до нього гіперкуби. На наступних кроках ми пророблюємо такі самі дії з кожним гіперкубом що залишився. Після нескінченної кількості кроків ми отримаємо чотиривимірну губку Менгера (див. рис. 3.9).

Рис. 3.9.

Аналітичний спосіб задання. Для того щоб аналітично задати чотиривимірну губку Менгера будемо й надалі використовувати точки в трійковій системі числення виду (для 4-х вимірного простору):

,

де

Якщо , , то ми отримаємо чотиривимірну губку Менгера.

Розмірність самоподібності. Порахуємо розмірність чотиривимірної губки Серпінського. На першому етапі побудови ми ділимо гіперкуб на 81 гіперкуби, і викидаємо 1 центральний гіперкуб і 8 прилеглих до нього гіперкуби, отже к = 72, а m = . Складаємо рівняння:

.

Звідки .

3.5.3. Ч о т и р и в и м і р н и й а н а л о г п и л а К а н т о р а

Описовий спосіб задання. Цю фігуру ми будуємо так, беремо гіперкуб і ділимо його на 81 конгруентних йому гіперкуби, а потім, на першому кроці побудови, ми викидаємо 1 центральний гіперкуб і 32 прилеглих до нього гіперкуба, тобто залишається 48 гіперкубів. На наступних кроках ми пророблюємо такі самі дії з кожним гіперкубом що залишився. Після нескінченної кількості кроків ми отримаємо чотиривимірний аналог пила Кантора (див. рис. 3.10).

Рис. 3.10.

Аналітичний спосіб задання. Для того щоб аналітично задати чотиривимірний аналог пила Кантора будемо й надалі використовувати точки в трійковій системі числення виду (для 4-х вимірного простору):

,

де .

Якщо , то ми отримаємо чотиривимірний аналог пила Кантора.

Розмірність самоподібності. Порахуємо розмірність чотиривимірного аналога пила Кантора (к=48, m= ). Складаємо рівняння:

.

Звідки .

3.5.4. Ч о т и р и в и м і р н и й п и л К а н т о р а

Описовий спосіб задання. Цю фігуру ми будуємо так, беремо гіперкуб і ділимо його на 81 конгруентних йому гіперкуби, а потім, на першому кроці побудови, ми викидаємо 1 центральний гіперкуб і 64 прилеглих до нього гіперкуба, тобто залишається 16 гіперкуба. На наступних кроках ми пророблюємо такі самі дії з кожним гіперкубом що залишився. Після нескінченної кількості кроків ми отримаємо чотиривимірний пил Кантора (див. рис.3.11).

Рис. 3.11.

Аналітичний спосіб задання. Для того щоб аналітично задати чотиривимірний пил Кантора будемо й надалі використовувати точки в трійковій системі числення виду (для 4-х вимірного простору):

,

де .

Якщо , то ми отримаємо чотиривимірний пил Кантора.

Розмірність самоподібності. Порахуємо розмірність чотиривимірного пила Кантора (к=16, m= ).

.

Звідки .

3.5.5. П о р і в н я л ь н а х а р а к т е р и с т и к а. Щоб узагальнити килим Серпінського на n- вимірний простір, насамперед складемо таблицю з результатами побудов (вказується кількість об’єктів, що залишаються) кожного об’єкта які розглядали в 1-х, 2-х, 3-х, 4-х вимірних просторах.

n=1 1

n=2 1 5

n=3 1 7 19

n=4 1 9 33 65

Представивши числа певним чином, ми отримаємо нову таблицю:

n=1 ;

n=2 ; ;

n=3 ; ; ;

n=4 ; ; ; ;

Тепер узагальнимо на n-вимірний простір:

n=n-1 ; ; ;… …. ;

n ; ; ;… … .