Розв’язування

Визначимо сподівану норму прибутку для кожного виду акцій:

;

;

.

Визначимо дисперсію (варіацію) норм прибутку кожного виду акцій за формулою (1.15):

;

;

.

Обчислимо середні квадратичні відхилення від сподіваних норм прибутків кожної акції:

;

;

.

Обчислимо величину ризику для кожного виду акцій:

; ; .

З одержаних результатів зрозуміло, що потрібно вибрати акцію виду , оскільки для неї ризик найменший.

4. Функція розподілу випадкової величини

До цих пір ми розглядали закон розподілу випадкової величини, як ряд розподілу або формулу, що дозволяє знаходити ймовірності довільних значень випадкової величини . Однак такий опис не є універсальним, оскільки його неможливо застосувати до неперервної випадкової величини, яка має нескінченну незчисленну множину можливих значень.

Для опису закону розподілу випадкової величини можливо розглядати не ймовірності подій для різних , а ймовірності події , де – поточна змінна. Зрозуміло, що ймовірність буде деякою функцією від змінної .

Функцією розподілу (function of distribution) випадкової величини називається ймовірність того, що випадкова величина набуде значення меншого за . Позначають функцію розподілу , тобто

. (1.17)

Функцію іноді називають інтегральною функцією розподілу або інтегральним законом розподілу.

Приклад 1.10 Дано ряд розподілу випадкової величини

:

	1	4	5	7
	0,4	0,1	0,3	0,2

Знайти та графічно зобразити її функцію розподілу.

Розв’язування

Будемо задавати різноманітні значення та знаходити для них .

1. Якщо , то зрозуміло, що .

2. Якщо , то . Зрозуміло, що і .

3. Якщо , то .

4. Якщо , то .

5. Якщо , то

.

Графічно зобразимо функцію (рис. 1.4).

Маємо:

Рисунок 1.4

Зауваження. З попереднього приклада зрозуміло, що функція розподілу довільної дискретної випадкової величини є східчастою функцією, стрибки якої відбуваються в точках, що відповідають можливим значенням випадкової величини і дорівнюють ймовірностям цих значень. Сума усіх стрибків функції розподілу дискретної випадкової величини дорівнює 1.

Розглянемо загальні властивості функції розподілу.

1. Значення функції розподілу належать відрізку [0, 1].

Дане твердження випливає з того, що функція розподілу – це ймовірність.

2. Функція розподілу є неспадною на всій числовій осі.

Доведення

Нехай та – деякі точки числової осі, причому . Розглянемо дві несумісні події та . Тоді . Це співвідношення між подіями випливає з їх геометричної інтерпретації (рис. 1.5).

Рисунок 1.5

За теоремою додавання

або ,

звідки

. (1.18)

Оскільки ймовірність , то , тобто – неспадна функція.

3. На мінус нескінченності функція розподілу дорівнює нулю, на плюс нескінченності дорівнює одиниці, тобто

, .