Розв’язування
В прикладі 1.4 було обчислено, що . Тому за формулами (1.11) та (1.12) маємо:
;
;
;
;
.
Таким чином, при
рівності середніх значень кількості
очок (
)
дисперсія, тобто характеристика
розсіювання відносно середнього
значення, менша для другого стрілка
і йому для одержання більш високих
результатів стрільби у порівнянні з
першим стрілком потрібно змістити
«центр» розподілу кількості одержаних
очок, збільшивши
,
навчившись краще цілитися.
Відмітимо основні властивості дисперсії випадкової величини.
1. Дисперсія сталої величини дорівнює нулю:
,
де
. (1.13)
Доведення
Дійсно,
.
2. Сталий множник можна виносити за знак дисперсії, підносячи його при цьому до квадрату:
. (1.14)
Доведення
Враховуючи, що маємо:
.
3. Дисперсія випадкової величини дорівнює різниці між математичним сподіванням квадрата випадкової величини та квадратом її математичного сподівання:
. (1.15)
Доведення
Нехай
,
тоді
.
Зауваження. Цю властивість досить часто використовують для обчислення дисперсії, оскільки вона дає спрощення розрахунків в порівнянні з основною формулою (1.10), якщо значення випадкової величини – цілі. А математичне сподівання – нецілі числа.
Приклад 1.7 За даними приклада 1.6 (задача про стрілків) обчислити дисперсії випадкових величин , , використовуючи формулу (1.15).
Розв’язування
В прикладі 1.4 було обчислено, що . Тому за маємо:
;
;
.
4. Дисперсія алгебраїчної суми скінченного числа незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій:
. (1.16)
Приклад 1.8
Знайти дисперсію випадкової величини
,
якщо відомо, що випадкові величини
та
незалежні і
;
.
Розв’язування
Використовуючи властивості 1, 2, 4, знайдемо
.
Якщо використати механічну інтерпретацію розподілу випадкової величини, то її дисперсія є моментом інерції розподілу мас відносно центру мас.
Математичне сподівання, дисперсія, середнє квадратичне відхилення та інші числа, що в стислій формі описують найбільш істотні риси розподілу називають числовими характеристиками випадкової величини.
Досить часто в
практичних обрахунках використовують
середнє квадратичне
відхилення для обчислення величини
ризику (коефіцієнт варіації
):
.
Приклад 1.9 На фінансовому ринку представлені акції трьох видів (А, В, С). Норма прибутку акцій залежить від ринкової кон’юнктури (%). Проаналізувати ситуацію і вибрати тип акції, що найбільш приваблива для інвестора з точки зору міри її ризику.
Види проектів |
Оцінка можливого результату |
|||||
Песимістична |
Стримана |
Оптимістична |
||||
Прибуток
|
Ймовірність
|
Прибуток
|
Ймовірність
|
Прибуток
|
Ймовірність
|
|
А |
59 |
0,25 |
29 |
0,53 |
19 |
0,22 |
В |
49 |
0,3 |
39 |
0,45 |
29 |
0,25 |
С |
39 |
0,27 |
29 |
0,5 |
19 |
0,23 |
