Розв’язування
Можливі значення випадкової величини – кількості складених іспитів – 0, 1, 2.
Нехай
=
«Студент складе і-ий
іспит»
.
Тоді ймовірності того, що студент складе
в сесію 0, 1, 2 іспити, відповідно дорівнюють:
;
;
.
Таким чином, ряд розподілу випадкової величини
:
|
0 |
1 |
2 |
|
0,03 |
0,34 |
0,63 |
На
рисунку 1.2 одержаний ряд розподілу
поданий графічно у вигляді полігону
розподілу ймовірностей.
Рисунок 1.2
Розглянемо найбільш уживані операції над випадковими величинами.
Нехай дано дві дискретні випадкові величини:
:
|
|
… |
|
|
|
… |
|
та
:
|
|
… |
|
|
|
… |
|
Добутком
випадкової величини
на сталу величину
називається випадкова величина, яка
набуває значення
з тими ж ймовірностями
.
-им
степенем випадкової
величини
,
тобто
,
називається випадкова величина, яка
набуває значення
з тими ж ймовірностями
.
Приклад 1.2 Задана випадкова величина
:
|
-2 |
1 |
3 |
|
0,5 |
0,3 |
0,2 |
Знайти закон
розподілу випадкових величин: а)
;
б)
.
Розв’язування
а) :
|
-4 |
2 |
6 |
|
0,5 |
0,3 |
0,2 |
б)
:
|
4 |
1 |
27 |
|
0,5 |
0,3 |
0,2 |
Сумою (різницею
чи добутком)
випадкових величин
та
називається випадкова величина, яка
набуває усіх можливих значень виду
(
чи
)
де
,
з ймовірностями
того, що випадкова величина
набуде значення
,
–
:
.
Якщо випадкові величини та незалежні (закон розподілу однієї величини не залежить від того, які можливі значення набула інша величина), то за теоремою множення ймовірностей для незалежних подій маємо:
. (1.2)
Приклад 1.3 Дано закони розподілу двох незалежних випадкових величин:
:
|
0 |
2 |
4 |
|
0,5 |
0,2 |
0,3 |
та :
|
-2 |
0 |
2 |
|
0,1 |
0,6 |
0,3 |
Знайти закон
розподілу випадкової величини
.
Розв’язування
Для зручності знаходження усіх значень різниці та їх ймовірностей складемо допоміжну таблицю, в кожній клітинці якої розмістимо в лівому кутку значення різниці , а в правому кутку – ймовірності цих значень, одержані в результаті множення ймовірностей відповідних значень випадкових величин та .
-
-2
0
2
0,1
0,6
0,3
0
0,5
2 0,05
0 0,3
-2 0,15
2
0,2
4 0,02
2 0,12
0 0,06
4
0,3
6 0,03
4 0,18
2 0,09
Наприклад, якщо
(передостанній рядок таблиці), а
(четвертий стовпець таблиці), то випадкова
величина
набуває значення
з ймовірністю
.
Оскільки серед
дев’яти значень випадкової величини
є ті, що повторюються, то їх відповідні
ймовірності додаємо за теоремою додавання
ймовірностей. Наприклад, значення
може бути одержане, коли
,
(з ймовірністю 0,12);
,
(з ймовірністю 0,05);
,
(з ймовірністю 0,09), тому
і т.д.
Таким чином одержуємо розподіл
:
|
-2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
|
0,15 |
0,36 |
0,26 |
0,20 |
0,03 |
