Тема 2 основні закони розподілу

2.1 Біноміальний закон розподілу

Дискретна випадкова величина має біноміальний закон розподілу з параметрами та , якщо вона набуває значень з ймовірностями

, (2.1)

де .

Ряд розподілу біноміального закону такий:

	0	1	2	…		…
				…		…

Зрозуміло, що означення біноміального закону є коректним, оскільки основна властивість ряду розподілу виконується (сума усіх ймовірностей є сума членів розвинення бінома Н’ютона ). Звідси випливає і назва закону – біноміальний.

На рис. 3.1 першої частини даного посібника наведено полігон розподілу випадкової величини, що має біноміальний розподіл з параметрами , .

Теорема 2.1 Математичне сподівання випадкової величини , розподіленої за біноміальним законом дорівнює

, (2.2)

а її дисперсія

. (2.3)

Доведення

Випадкову величину - число появ події в незалежних випробуваннях – можна подати у вигляді суми незалежних випадкових величин , кожна з яких має один і той самий закон розподілу:

	0	1

та виражає число появ події в -му (одиничному) випробуванні ( ). Тобто при появі події з ймовірністю , а за відсутності цієї події – з ймовірністю . Випадкову величину називають альтернативною випадковою величиною.

Знайдемо числові характеристики альтернативної випадкової величини.

,

,

оскільки .

Тепер математичне сподівання та дисперсій даної випадкової величини :

,

.

Наслідок. , .

Дійсно, ;

.

Зауваження. Стає зрозумілим зміст аргументів у функціях та локальної та інтегральної теорем Муавра - Лапласа (див. п.3.4, Ч.1). Аргумент функції Гаусса є відхиленням числа появ події в незалежних випробуваннях, розподіленого за біноміальним законом, від його середнього значення , виражене в стандартних відхиленнях .

Аргумент функції Лапласа є відхиленням частоти події в незалежних випробуваннях від її ймовірності в окремому випробуванні, виражене в стандартних відхиленнях .

В п. 3.1 (Ч.1) встановлено, що найімовірніше число появ події в випробуваннях задовольняє нерівності . Це означає, що мода випадкової величини, розподіленої за біноміальним законом – ціле число – знаходиться з тієї ж нерівності

. (2.4)

Біноміальний закон розподілу широко використовується в теорії та практиці статистичного контролю якості продукції, при описі функціонування систем масового обслуговування, при моделюванні цін активів, в теорії стрільби та ін. Так, наприклад, одержаний в прикладі 1.16 закон розподілу випадкової величини – числа кущів малини інфікованих вірусом серед чотирьох висаджених кущів – біноміальний з параметрами , .