Метод простої ітерації

Метод простої ітерації реалізує такий підхід: попередньо початкове рівняння перетворюють до вигляду , що є окремим випадком більш загальної структури . Потім обирають початкове значення і підставляють його в ліву частину рівняння, але , тому що обрано довільно і не є коренем рівняння. Отримане розглядають як чергове наближення до кореня. Його знову підставляють в ліву частину рівняння і отримують наступне значення і т. д., в загальному випадку . Отримана таким чином послідовність при певних умовах може збігатися до кореня

Існують різні способи перетворень рівняння до вигляду ; одні можуть призвести до виконання умови збіжності завжди, інші – в окремих випадках. Найбільш простий спосіб наступний:

,

але він не завжди приводить до успіху. Існує інший спосіб, у відповідності з яким , причому треба обирати так, щоб , де і знак збігався за знаком на .

Похибку рішення можна оцінити з співвідношення:

, де .

У якості критерію закінчення обчислень у методі ітерацій застосовують співвідношення , де - задана похибка рішення.

Часто використовують спрощену умову закінчення пошуку рішення , не обчислюючи максимального значення похідної. У цьому випадку похибка рішення може не відповідати заданій, тобто бути більшою або меншою.

Приклад 3.5

Маємо рівняння . Уточнити корінь з похибкою .

Запишемо . Провівши процедуру відділення коренів, одержимо, що корінь знаходиться в проміжку [0; 0,05], тобто . Приведемо рівняння до виду, зручного для проведення ітерацій . Функцію знаходимо із співвідношення , вважаючи для підвищення збіжності, що , де ; число має той же знак, що і у проміжку [0; 0,05].

Знаходимо:

при .

Приймемо ,

тоді .

За початкове наближення візьмемо , всі інші наближення визначаємо з рівності . Результати зведемо у таблицю 3.5.

Таблиця 3.5

0	0	0,2614
1	0,2614	0,2266
2	0,2266	0,2309
3	0,2309	0,2303
4	0,2303	0,2304
5	0,2304

Відповідь: .

Граничні оцінки та область існування коренів алгебраїчних рівнянь

У багатьох випадках досить знати граничне значення кореня. Це необхідно у різних додатках (наприклад, при оцінці стійкості систем керування), а також для більш ефективного відділення коренів нелінійного рівняння. Цю проблему можна вирішити, не знаходячи всі корені, а скориставшись спеціальними методами.

Метод Лагранжа

Метод зводиться до визначення верхньої границі додатних коренів за формулою:

, (3.1)

де - номер першого за порядком від’ємного коефіцієнта в поліномі лівої частини рівняння ; - найбільша з абсолютних величин від’ємних коефіцієнтів ; при цьому передбачається, що .

Приклад 3.6

Визначити граничне значення додатних коренів рівняння:

.

У цьому рівнянні , тому спочатку помножимо обидві частини рівняння на -1. Одержимо:

.

Тут ; ; ; ; .

Отже, ; .

Застосовуючи формулу (3.1), одержимо:

.