Метод хорд

Алгоритм методу залежить від властивостей функції . Якщо , то побудована на кожному етапі хорда має правий фіксований ("закріплений") кінець, і алгоритм реалізується наступним чином:

.

При цьому послідовність буде наближатися до кореня зліва.

Якщо , то хорда має лівий фіксований кінець, і алгоритм реалізується наступним чином:

,

при цьому послідовність наближається до кореня справа.

Приклад 3.3

Маємо рівняння . Уточнити корінь з похибкою .

Розв’язок. Запишемо . Провівши процедуру відділення коренів, одержимо проміжок, на якому знаходиться корінь: [-1; 0], тобто .

Знаходимо другу похідну .

У проміжку [-1; 0] перевіряємо умову . Для обчислень застосовуємо формулу:

,

де ; .

Всі обчислення зведені в табл. 3.3.

Таблиця 3.3

0	0	1,5	1
1	-0,882	0,2173	0,118
2	-0,943	0,0121	0,057
3	-0,946	0,0014	0,054
4	-0,946

Відповідь: .

Метод Ньютона (дотичних)

Ідея, на якій базується метод, аналогічна тій, котра реалізована в методі хорд, тільки у якості прямої береться дотична, проведена в поточній точці послідовності. Рівняння дотичної знаходиться за координатами однієї точки і куту нахилу (значення похідної). У якості початкової точки, в залежності від властивостей функції, береться або ліва точка: , або права точка: . Алгоритм представлено у вигляді:

.

Перевага методу Ньютона у тому, що він має вищу швидкість збіжності. Так корінь рівняння з точністю і методом Ньютона був обчислений за п’ять і шість ітерацій відповідно, тоді як методом ітерації він був обчислений не менш, ніж за шість і десять ітерацій відповідно.

Недоліком методу Ньютона є те, що на кожній ітерації треба обчислювати не тільки значення функції , а й значення її похідної . Обчислення похідної може бути значно складнішим від обчислення .

Приклад 3.4

Маємо рівняння . Уточнити корінь з похибкою .

Запишемо . Провівши процедуру відділення коренів, одержимо, що корінь знаходиться в проміжку [-1; 0], тобто .

Знаходимо другу похідну .

У проміжку [-1; 0] перевіряємо умову Для обчислень застосовуємо формулу:

,

а в якості обираємо точку . Всі обчислення зведені у таблицю 3.4.

Таблиця 3.4

0	-1	-8	26
1	-0,692	-1,579	16,044
2	-0,593	-0,13	13,335
3	-0,583

Оскільки , то .