Метод стрільби

Метод стрільби є універсальним і використовується для розв'язання нелінійних диференційних рівнянь -го порядку.

Суть методу полягає у багатократному вирішенні задачі Коші для наближеного знаходження крайової задачі.

Замість початкової задачі формулюємо задачу Коші з рівнянням (8.1) та з початковими умовами:

(8.5)

де - деяке значення тангенсу кута нахилу дотичної до рішення у точці .

Спочатку просвоїмо деяке початкове значення параметру , після чого вирішимо будь-яким методом задачу Коші (8.1), (8.5). Нехай – рішення цієї задачі на інтервалі , тоді, порівнюючи значення функції зі значенням у правому кінці відрізку, модна одержати інформацію для коректування кута нахилу дотичної до рішення у лівому кінці відрізку. Вирішуючи задачу Коші для нового значення , одержимо друге рішення зі значенням на правому кінці. Отже, значення рішення на правому кінці буде функцією однієї змінної . Задачу формулюємо таким чином: потрібно знайти таке значення змінної , щоб рішення у правому кінці відрізку збіглося б зі значенням з (8.2). По-іншому, рішення початкової задачі є еквівалентним знаходженню кореня рівняння:

, (8.6)

де .

Рівняння (8.6) є «алгоритмічним» рівнянням, тому що його ліва частина задається за допомогою алгоритму чисельного рішення відповідної задачі Коші. Відмітимо, що внаслідок неможливості обчислення похідної функції замість методу Ньютона потрібно використовувати метод січних, у якому похідна від функції замінена її різницевим аналогом. Даний різницевий аналог легко обчислюється за двома наближеннями, наприклад, та . Наступне значення шуканого кореня визначається за формулою:

. (8.7)

Ітерації за формулою (8.7) виконуються до досягнення заданої точності.

Приклад 8.1

Методом стрільби вирішити крайову задачу з граничними умовами першого роду: на відрізку

Заміною змінних зведемо диференційне рівняння другого порядку до системи двох диференційних рівнянь першого порядку:

Задачу Коші для системи з початковими умовами на лівому кінці будемо вирішувати методом Рунге-Кутта четвертого порядку точності з кроком до задоволення умови на правому кінці , де і - значення рішення задачі Коші у правому кінці відрізку при ; - значення першої похідної до рішення у лівому кінці відрізку на -й ітерації.

Приймемо у якості двох перших значень параметра наступні: . Двічі вирішимо задачу Коші з цими параметрами методом Рунге-Кутта з кроком . Одержимо два рішення , . Обчислимо нове наближення параметра за формулою (8.7):

.

Вирішуючи задачу Коші з параметром , одержимо рішення і т. д.:

;

; ;

;

; ;

Обчислення заносимо у таблицю 8.1

Таблиця 8.1

0	1,0000	3,1689	1,1689
1	0,8000	2,9745	0,9745
2	-0,2047	1,9538	0,0462
3	-0,1592	2,0018	0,0018
4	-0,1609	2.0000	0,0000

Наближеним значенням крайової задачі будемо вважати табличну функцію, одержану у результаті вирішення задачі Коші з параметром , що наведена у таблиці 8.2.

Таблиця 8.2

	0,0	0,1000	0,2000	0,3 000	0,4000	0,5000
	1,0	0,9932	1,0060	1,0394	1,0949	1,1743
	0,6000	0,7000	0,8000	0,9000	1,0000
	1,2794	1,4124	1,5753	1,7705	2,0000