Лабораторна робота № 5

Знаходження найбільшого та найменшого значення функції

Мета роботи — оволодіння прийомом програмування для знаходження найбільшого та найменшого значення функції з використанням оператора-функції.

Теоретична частина

Змінні величини та функції, що їх визначають

Інтервалом від a до b називається сукупність усіх чисел х, що задовольняють одну з наступних подвійних нерівностей:

1) a x b;

2) a x b;

3) a x b;

4) a x b.

Закритий інтервал називається відрізком і позначається [а, b]; від­критий інтервал позначається (а, b); напіввідкриті інтервали позначаються відповідно [а, b) та (a, b].

Змінною називається величина, що приймає різні числові значення.

Областю визначення змінної називається сукупність усіх числових значень, які вона приймає. Вона може складатися з одного чи кількох інтервалів та з окремих точок.

Взаємопов’язана зміна змінних називається функціональною залежністю.

При вивченні функціональної залежності між двома змін­ними вважають, що одна з них є незалежною змінною, якій можна надавати довільні значення з області її визначення, а друга – залежною від неї. Незалежна змінна називається аргумен­том, а залежна – функцією.

Н. І. Лобачевському належить наступне визначення поняття функції:

Змінна у називається функцією змінної x, якщо кожному значе­нню х, відповідає певне значення у.

Для скорочення запису застосовується символічне позначення функцій: у f(x), S  (t), u F (),…

Якщо функція від х позначена символом Р(х), то Р (а) позначає конкретне значення цієї функції при ха.

Так, якщо Р (х) x² 2х 5, то

Р (3) 3²2*3 5 10; Р (0) 5; Р(а) а² 2а5.

Основними елементарними функціями називаються:

1. степенева функція ухⁿ;

2. показникова функція ya^x, a0;

3. логарифмічна функція y log_a x, a0;

4. тригонометричні функції y sin x, y= cos x, ytg x, yctg x, ysec x, ycosec x;

5. обернені триногометричні функції yarcsin x , y arccos x, yarctg x, y arcctg x.

Функції, що задані однією формулою за допомогою скінченого числа арифметичних дій та операцій, називаються елементарними. Наприклад:

;

Всі інші функції називаються неелементарними. Наприклад, неелементарною є функція, що визначається кількома різними формулами для різних інтервалів зміни аргументу:

Функція f(x), що має властивість f(x) = f(-x), називається парною, наприклад х², cos x, а та, що має властивість f(x)=-f(-x), непарною, наприклад x³, sin x. Багато функцій є ні парними, ні непарними, наприклад, a^x, .

Область визначення (існування) функції

Областю визначення функції називається сукупність усіх точок числової осі, в яких вона має певні дійсні значе­ння.

Для багатьох функцій областю визначення буде не вся числова вісь, а тільки її частина. Так, для функції обла­стю визначення є напіввідкритий інтервал ; для функції область визначення складається з двох інтервалів: та .

Основні елементарні функції мають наступні області визначення:

• степенева функція у=хⁿ з раціональним додатнім показником при непарному визначена на всій числовій осі , а при парному визначена в інтервалі ;

• показникова функція у=а^x, а>0 визначена на всій числовій осі;

• логарифмічна функція у=log_ax, a>0 визначена в інтервалі

• тригонометричні функції y=sin x, y=cos x визначені на всій чи­словій осі;

• у=tg x, y=sec x визначені на всій числовій осі, окрім точок хk = (2k+1)  , k=0, +1, +2, …;

• у=ctg x, y=cosec x визначені на всій числовій осі, окрім точок хk = k ;

• обернені тригонометричні функції y=arcsin x, y=arccos x визначені на відрізку ;

• у=arctg x, y=arcctg x визначені на всій число­вій осі.

При знаходженні області визначення елементарної функції, заданої формулою Y=f(x), треба звертати увагу на такі елементи формули:

• на радикали парної степені — функція буде визначена тільки для тих значень х, при яких їх підкорінні вирази будуть невід’ємні;

• на знаменники дробових виразів – функція буде визначена тільки для тих значень х, при яких знаменники відмінні від нуля;

• на трансцендентні функції log x, tg x, ctg x, sec x, cosec x, arcsin x, arccos x, які визначені не всюди, а тільки при вказаних раніше значеннях свого аргументу x.

• якщо ці перечисленні елементи відсутні в формулі y=f(x), то областю визначення функції у буде вся числова вісь (за виключенням тих випадків, коли область визначення функції обмежується спеціаль­ними умовами задачі).