2 Дифференциальное уравнение теплопроводности
2.1 Дифференциальное уравнение теплопроводности
Явления природы вообще можно описать или исследовать на основе феноменологического и статистического методов.
Феноменологический метод описания процессов игнорирует микроскопическое строение и рассматривает вещество как сплошную среду (континуум). Это основной метод ТМО.
Молекулярно-кинетический или статистический метод рассматривает вещество, состоящее из большого числа молекул, атомов, ионов с заданными свойствами и с законами взаимодействия между ними. Аналитическая теория теплопроводности игнорирует молекулярное строение вещества.
Метод математической физики заключается в том, что ограничивается промежуток времени dτ и из всего пространства рассматривается элементарный объём dV. Это позволяет пренебречь изменением некоторых величин (от температуры) и упростить математические зависимости. С математической точки зрения dV и dτ – бесконечно малы, а с физической они являются величинами ещё достаточно большими, чтобы в их пределах можно было игнорировать дискретное строение вещества.
Дифференциальное
уравнение теплопроводности есть
аналитическое решение температурного
поля (формула (1.1)). Для его вывода
предполагаем, что температурное поле
трёхмерное и нестационарное. Для
упрощения считаем, что теплофизические
коэффициенты в пределах dV
и dτ
постоянны. Рассмотрим элементарный
объём с гранями dx,
dy
и dz.
В декартовой системе
пронизывается тепловым потоком в трёх
направлениях x,
y
и z.
Причём
.
Из гипотезы Фурье количество теплоты,
воспринимаемое гранью
вдоль оси Х
. (2.1)
Количество теплоты, выходящее в направлении оси Х
(2.2)
.
Разница подведённого и отведённого количества теплот за dτ в направлении ОХ представляет собой количество теплоты, воспринятое dV вдоль ОХ путём теплопроводности
. (2.3)
По аналогии, вдоль осей ОY и OZ:
,
.
Тогда полное количество теплоты, подведённое теплопроводностью к dV:
. (2.4)
В
скобках – оператор Лапласа второго
порядка
.
Теплота,
помимо теплопроводности в dV
может быть подведена от внутренних
источников (электрический ток, ядерная
или химическая реакция). Мощность этих
источников обозначаем как
.
Тогда общее количество теплоты, полученное
dV,
будет:
.
С другой стороны это количество теплоты идёт на увеличение теплосодержания (энтальпии) dV для изобарного процесса (для изохорного – на изменение внутренней энергии)
.
Приравняем:
,
.
Коэффициент
температуропроводности:
– характеризует скорость изменения
температуры в теле или термоинерционные
свойства тела.
Окончательно дифференциальное уравнение теплопроводности с учётом внутренних источников теплоты:
, (2.5)
без учёта :
. (2.6)
Стационарный режим:
.
– уравнение Лапласа (2.7)
Уравнения (2.5) – (2.6) – дифференциальные уравнения второго порядка, которые описывают бесчисленное множество процессов. Для аналитического решения конкретной задачи необходимо к ним добавить условия однозначности.
2.2 Условия однозначности
Эти
условия включают в себя: геометрические,
физические, начальные и граничные.
Геометрические определяют форму и
размеры тела. Физические условия
характеризуют физические свойства
тела. Начальные условия – распределение
температуры в теле в начальный момент
времени
.
Граничные характеризуют условия
теплообмена на границе раздела тела и
среды. Граничные условия бывают I-рода
– задана температура поверхности для
любого момента времени. Для простейшего
случая
.
Граничные условия II-рода
– задан закон распределения плотности
теплового потока на поверхности
материала. При граничных условиях
II-рода
происходит нагревание и охлаждение в
промышленных печах. III-рода
– задан закон теплообмена между
поверхностью тела и средой.
Основной закон теплообмена – закон Ньютона-Рихмана, согласно которому плотность теплового потока между телом и средой прямо пропорциональна разности температур между ними:
, (2.8)
где α – коэффициент
теплоотдачи
.
Количество теплоты, отдаваемое в единицу
времени единицей площади поверхности
при разности температур между поверхностью
и окружающей средой в 1К.
Согласно 1-му закону термодинамики всё тепло, подведённое к поверхности тела теплопроводностью равно количеству теплоты, отданное этой поверхностью теплоотдачей:
. (2.9)
Граничные условия IV-рода – условия сопряжения, сводятся к одновременному заданию температуры и тепловых потоков на границе раздела тел или фаз.
,
.
В дальнейшем: I рода – теплопроводность,
III рода – теплопередача.