Поправочный коэффициент определяется из графика:

Для учёта теплоотдачи с торца ребра в выражения (7.24) и (7.25) вместо r₂ подставим :

.

8 Теплопроводность при наличии

внутренних источников теплоты

В ряде случаев внутри объектов исследования могут протекать процессы, в результате которых будет выделяться или поглощаться теплота. Примерами таких процессов могут служить: выделение джоулевской теплоты при прохождении электрического тока по проводникам, объёмное выделение теплоты в тепловыделяющих элементах атомных реакторов вследствие торможения осколков деления ядер атомного горючего, а также замедления потоков нейтронов.

В зависимости от особенностей изменения величины в пространстве можно говорить о точечных, линейных, поверхностных и объёмных источниках теплоты.

Для стационарного режима при дифференциальное уравнение теплопроводности при наличии источников теплоты имеет вид:

. (8.1)

8.1 Теплопроводность однородной пластины

Рассмотрим длинную пластину, толщина которой 2 есть величина малая по сравнению с двумя другими размерами. Источники теплоты равномерно распределены по объёму и равны . Заданы коэффициент теплоотдачи  и температура жидкости вдали от пластины , причём и . При указанных условиях температура пластины будет изменяться только вдоль оси Х. Температуру на оси пластины и на её поверхности обозначим соответственно через и , эти температуры неизвестны. Кроме того, необходимо найти распределение температуры в пластине и количество теплоты, отданное в окружающую среду.

Дифференциальное уравнение (8.1) в рассматриваемом случае упрощается и принимает вид:

.

Уравнение температурного поля:

. (8.2)

Тепловой поток с единицы поверхности пластины при :

. (8.3)

Общее количество теплоты, отданное всей поверхностью в единицу времени:

. (8.4)

Температура на оси симметрии пластины ( ):

. (8.5)

Перепад температур между осью симметрии стенки и её поверхностью:

. (8.6)

8.2 Теплопроводность однородного цилиндрического стержня

Рассмотрим круглый цилиндр (рис. 8.2), радиус которого мал по сравнению с длиной цилиндра. При этом условии температура будет изменяться только вдоль радиуса

Внутренние источники теплоты равномерно распределены по объёму тела. Заданы температура окружающей среды и постоянный по всей поверхности коэффициент теплоотдачи. При этих условиях температура во всех точках внешней поверхности цилиндра будет одинакова.

Для цилиндра, как и для пластины, задача будет одномерной и симметричной. Уравнение (8.1) при этом имеет вид:

. (8.7)

Проинтегрируем уравнение (8.7), при этом произведём замену . Тогда уравнение (8.7) запишется: . (8.8)

Температура на оси цилиндра ( ):

. (8.9)

Плотность теплового потока на поверхности цилиндра

. (8.10)

Полный тепловой поток с поверхности цилиндра:

. (8.11)

Температура на оси цилиндра ( ): . (8.12)

8.3 Теплопроводность цилиндрической стенки

Рассмотрим бесконечно длинную цилиндрическую стенку с внутренним радиусам r₁, наружным r₂ и постоянным коэффициентом теплопроводности . Внутри этой стенки имеются равномерно распределённые источники тепла производительностью q_v.

В такой стенке температура будет изменяться только в направлении радиуса, и процесс теплопроводности будет описываться уравнением (8.7):

.