1. Теплопроводность при стационарном режиме

1.1 Температурное поле

Аналитически распределение температуры в теле описывается с помощью уравнения:

. (1.1)

Это математическое описание температурного поля в теле.

Если температура в данной точке не меняется по времени, т.е. то такое температурное поле называется стационарным, если наоборот, если то такое температурное поле называется нестационарным.

Если температура меняется только вдоль одной из координат (пусть х), то такое температурное поле называется одномерным:

, .

Для двухмерного нестационарного температурного поля:

, .

1.2 Температурный градиент

Геометрическое место точек, имеющих одинаковую температуру, называют изотермической поверхностью. Эти поверхности не пересекаются и заканчиваются либо внутри тела, либо на его поверхности. Скорость изменения температуры вдоль определённого направления характеризует градиент температуры.

Предел отношения изменения ΔТ к расстоянию между изотермами по нормали Δn называется градиентом температуры:

, (1.2)

где – единичный вектор, нормальный к изотермической поверхности, направленный в сторону возрастания температуры.

Из математики известно, т.к. объёмная производная скалярного поля является его градиентом, то для температурного поля эта производная будет градиентом температуры

,

где V – объём, заключённый внутри поверхности F;

F – поверхность;

 – символический вектор (оператор Набла или Гамильтона, а также это дивергенция вектора или ротация)

. (1.3)

Градиент температуры – вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры и численно равный производной по данному направлению, [K/м]. Так как поле температурного градиента векторное, то символический вектор градиента

, (1.4)

где , , – координаты градиента;

, , – единичные векторы, имеющие направление координатных осей.

1.3 Тепловой поток. Закон теплопроводности Фурье

По гипотезе Фурье количество теплоты (в джоулях), проходящее через элементарную площадку dF за время dτ прямо пропорционально градиенту температуры

. (1.5)

Плотность теплового потока – количество теплоты, проходящее в единицу времени через единицу изотермической поверхности.

, , (1.6)

.

Знак «–» уравнения (1.6) говорит о том, что вектор плотности теплового потока направлен в противоположную сторону градиенту, т.е. теплота передаётся от более горячего к более холодному телу. Коэффициент пропорциональности λ – коэффициент теплопроводности.

Тепловой поток – количество теплоты, проходящее в единицу времени.

.

1.4 Коэффициент теплопроводности

Согласно формуле (1.6) коэффициент теплопроводности λ численно равен плотности теплового потока при градиенте температуры равном единице. Это количество теплоты, проходящее в единицу времени через единицу площади изотермической поверхности при .

. (1.7)

Он характеризует способность тел проводить теплоту. Чем больше коэффициент теплопроводности, тем больше материал проводит теплоту, и наоборот. Коэффициент теплопроводности зависит от физических свойств материала, температуры, влажности, для газов и паров – и от давления. Для многих материалов коэффициент теплопроводности имеет линейную зависимость от температуры (строительных и изоляционных)

, (1.8)

где – коэффициент теплопроводности λ при температуре ;

β – постоянная, определяемая опытным путём, как правило .

Для газов , .

Согласно кинетической теории перенос теплоты теплопроводностью газов определяется переносом кинетической энергии в результате хаотического движения и столкновения молекул. Тогда

, (1.9)

где – среднеквадратичная скорость молекул;

– средняя длина свободного пробега молекул;

ρ – плотность газа;

– изохорная теплоёмкость газа.

С ростом давления возрастает плотность, а средняя длина свободного пробега молекул уменьшается и произведение . Поэтому для идеального газа . С ростом температуры возрастает среднеквадратичная скорость молекул и увеличивается теплоёмкость изохорного процесса, поэтому возрастает коэффициент теплопроводности. Гелий (Не) и водород (Н) имеют коэффициент теплопроводности в 5 – 10 раз больше чем у других газов. Их молекулы имеют очень маленькую массу, следовательно, большую скорость, поэтому коэффициент теплопроводности велик. Коэффициент теплопроводности реальных газов сильно зависит от давления. Для большинства капельных жидкостей теория Предводителева А.С. о том, что перенос теплоты в жидкостях происходит путём нестройных упругих колебаний (атомов, молекул) нашла хорошее подтвер­ждение. На основании этого получена формула для жидкостей:

, (1.10)

где А – коэффициент, пропорциональный скорости распространения упругих волн, он не зависит от жидкости, а зависит от температуры, ;

μ – молекулярная масса жидкости.

Для большинства жидкостей с ростом температуры коэффициент теплопроводности уменьшается. Исключение – вода и глицерин. Коэффициент теплопроводности для капельной жидкости лежит в пределах: . С повышением давления коэффициент теплопроводности возрастает.

В металлах основной передатчик теплоты – свободные электроны, которые можно уподобить идеальному одноатомному газу. Из-за их движения происходит выравнивание температуры. Т.к. в металлах носителем тепла являются свободные электроны, то коэффициент теплопроводности металлов прямо пропорционален коэффициенту электропроводности. С ростом температуры эти коэффициенты у чистых металлов уменьшаются, а у сплавов – наоборот возрастают.

Для чистых металлов

.

Для сплавов

.

В диэлектриках (керамика, стройматериалы) с ростом температуры коэффициент теплопроводности возрастает. С увеличением плотности и влажности материала коэффициент теплопроводности возрастает. Для этих материалов

.

Если то материал называется теплоизоляционным.